Модель Башелье (нормальная модель)

Модель Башелье (1900) стала первой моделью ценообразования опционов и появилась на 73 года раньше модели Блэка-Шоулза. Изменения цены здесь аддитивны и распределены нормально. Вместо процентной доходности (логнормальная модель) Башелье моделирует изменения цены в долларах (нормальная модель). Цена может уйти в минус. Для акций это дефект, а для процентных ставок это достоинство.

У модели ровно один параметр: нормальная волатильность, выраженная в абсолютных величинах (например, «$50 в год» вместо «30% в год»). Улыбки нет. Если бы мир подчинялся Башелье, все опционы на всех страйках имели бы одну и ту же нормальную волатильность. Плоская улыбка и есть главное предсказание модели.

💡

Скью может быть артефактом модели

Модель Башелье по построению даёт плоскую улыбку. Переведите эти цены в подразумеваемую волатильность Блэка-Шоулза, и появится скью. Этого скью нет в рынке: он возникает, когда логнормальную математику навязывают миру, который, возможно, устроен нормально.

Исследуйте модель

Плоская синяя пунктирная линия показывает взгляд Башелье: одна волатильность для всех страйков. Зелёная кривая показывает те же цены опционов, пересчитанные в термины Блэка-Шоулза. Снизьте спотовую цену и посмотрите, как кажущийся скью BS становится круче, хотя в мире Башелье ничего не изменилось.

Интерактивное сравнение Bachelier и Black-Scholes

Типичная конфигурация. Улыбка Bachelier плоская по определению. Те же цены, пересчитанные в термины BS, дают скью.

Нормальная вол.20

Абсолютная волатильность в $/год (не в процентах)

Спот-цена (S)100

Ниже спот = более выраженный скью по BS

Плоская синяя пунктирная линия — взгляд Bachelier: одна волатильность для всех страйков. Зелёная кривая — те же цены опционов, пересчитанные в термины Black-Scholes. «Скью» — это артефакт модели, а не свойство рынка.

Что делает каждый параметр

• Нормальная волатильность: единственный параметр. Измеряется в абсолютных ценовых единицах в год, а не в процентах. Нормальная волатильность 20 означает, что за год цена в пределах одного стандартного отклонения сдвинется на $20. Все страйки получают одну и ту же волатильность, поэтому улыбка плоская.
• Спотовая цена: не меняет улыбку Башелье (она остаётся плоской), но сильно влияет на эквивалентную улыбку BS. При более низкой спотовой цене то же долларовое движение означает более крупное процентное движение, поэтому подразумеваемая волатильность BS растёт, и возникает кажущийся скью путов.

Откуда берётся «скью» BS

Что происходит

Взгляд Башелье

Взгляд BS

Оценка ATM опциона

Нормальная волатильность применяется напрямую

Логнормальная волатильность примерно равна normal_vol / spot

OTM пут (низкий страйк)

Та же волатильность, что и на ATM

IV выше: то же движение в $ означает большее движение в % при низкой цене

OTM колл (высокий страйк)

Та же волатильность, что и на ATM

IV ниже: то же движение в $ означает меньшее движение в % при высокой цене

Снижение спотовой цены

Улыбка остаётся плоской

Вся кривая сдвигается вверх, крыло путов становится круче

ℹ️

Бета в SABR задаёт базовую форму улыбки

Базовая форма улыбки SABR (улыбка при нулевой волатильности волатильности) зависит от беты. Бета = 0: Башелье. Бета = 1: Блэк-Шоулз. Бета определяет, где вы находитесь на шкале между нормальной и логнормальной моделью.

Где применяется модель Башелье

Рынок

Почему Башелье

Единица нормальной волатильности

Свопционы на процентные ставки

Ставки в EUR, JPY, CHF уходили в минус. BS ломается на нуле, Башелье нет.

б.п. в год (например, 50 б.п.)

Спредовые опционы

Спреды бывают отрицательными. Аддитивная модель здесь естественна.

$ в год или б.п. в год

Опционы на CDS

Кредитные спреды естественно моделировать аддитивными движениями.

б.п. в год

Крипто (нишевые продукты)

Опционы на ставку финансирования или на базис, где базовый актив может стать отрицательным.

% в год (абсолютные)

⚠️

Не для опционов на спотовую криптовалюту

Спотовые цены криптовалют положительны и демонстрируют эффект кредитного плеча (волатильность растёт при падении цены). Здесь естественнее логнормальная модель (семейство Блэка-Шоулза). Модель Башелье подходит для ставок, спредов и всего, что может уйти в минус.

Башелье и Блэк-Шоулз: краткое сравнение

Башелье

Блэк-Шоулз

Динамика цены

Аддитивная (нормальная)

Мультипликативная (логнормальная)

Единица волатильности

$ в год (абсолютная)

% в год (относительная)

Отрицательные цены?

Да (by design)

Нет (логарифм отрицательного числа не определён)

Форма улыбки

Плоская по определению

Плоская, только если мир действительно логнормален

Параметры

1 (нормальная волатильность)

1 (логнормальная волатильность)

Пересчёт

σ_n ≈ σ_BS × S (вблизи ATM)

σ_BS ≈ σ_n / S (вблизи ATM)

Применение

Ставки, спреды, CDS

Акции, FX, спотовая крипта

Формула пересчёта

Вблизи ATM одну волатильность можно пересчитать в другую:

$$\sigma_{\text{нормальная}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S$$

Актив по $100 с волатильностью BS 30$30. Но вдали от ATM это приближение перестаёт работать, и именно поэтому при пересчёте цен Башелье появляется «улыбка» BS.

💡

Плоская улыбка по определению

Модель Башелье считает изменения цены аддитивными. Её улыбка плоская по определению. Скью, появляющийся после пересчёта в термины BS, является артефактом выбора модели, а не свойством рынка.

Исследователь уравнений

Исследователь формул

Спот (S)

$

Страйк (K)

$

Дней до экспирации

дн.

Безрисковая ставка

%

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Цена колла

$8300

Цена пута

$7890

Δ колла

0.555

d₁

0.102

Вега

$114

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Почему модель Башелье даёт плоскую улыбку, а Блэк-Шоулз нет?

Q: Если пересчитать цены опционов Башелье в подразумеваемую волатильность BS, получится скью путов. Откуда он берётся?

Q: Когда для крипты стоит использовать модель Башелье вместо Блэка-Шоулза?

Q: Как вблизи ATM связаны нормальная волатильность и волатильность BS?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Математическая интуиция

Изучить модель Башелье с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

Урок начинается с простой интуитивной модели, затем разбирает нормальную волатильность, формулу ценообразования и то, почему плоская нормальная улыбка превращается в скью после перевода в термины Блэка-Шоулза.

---

См. также:

• Блэк-Шоулз: логнормальный аналог
• Модель CEV: связывает нормальную и логнормальную модели через параметр бета
• Модель SABR: использует бету для выбора точки на шкале между нормальной и логнормальной моделью
• Смещённая диффузия: ещё один способ работать с базовыми активами вблизи нуля
• Подразумеваемая волатильность: понятие, которое зависит от выбранной модели
• Скью: как отделить артефакты модели от свойств рынка