Эта страница переведена автоматически. Оригинал на английском языке является каноническим. Читать на английском →
Перейти к основному содержимому

Модель Бейтса

Бейтс (1996) добавляет к модели Хестона скачки Мертона. Стохастическая волатильность описывает плавную динамику изо дня в день, скачки отвечают за гэп-риск. Большинство десков экзотических опционов работают либо на SLV, либо на модели Бейтса.

Ни Хестон, ни Мертон по отдельности не подходят для крипторынка: устойчивые режимы волатильности и внезапные гэпы требуют разных механизмов.

💡
Одна модель Хестона не даёт крутых крыльев на коротких сроках

Криптоактив может сделать гэп на 15% за один блок. Никакая волатильность волатильности не даст тех крутых крыльев на коротких сроках, которые видны после каскада ликвидаций. Этот пробел закрывают скачки. Бейтс = Хестон для спокойного рынка + Мертон для обвалов.

Исследуйте параметры​

Включите «Show Heston only», чтобы увидеть пунктирную кривую Хестона. Разрыв между пунктиром и сплошной кривой Бейтса и есть чистый вклад скачков.

Исследователь улыбки Бейтса

Частые гэпы плюс высокая волатильность волатильности. Широкая улыбка с крутым путовым крылом за счёт и стохастической волатильности, и скачков.
35%53%71%758595ATM105115125СтрайкПодразумеваемая волатильность (%)Бейтс (полный)Только Хестон
Волатильность волатильности0.70
Часть Хестона: задаёт кривизну улыбки
ρ (корреляция спот-вол)-0.60
Отрицательная = пут-скью от стохастической волатильности
Частота скачков2.00
Ожидаемое число скачков в год. 0 = чистый Хестон.
Скью скачков-0.12
Средняя направленность скачка. Отрицательная = уклон в сторону обвала.

Включите «Показать только Хестон», чтобы увидеть пунктирную кривую только со стохастической волатильностью. Разрыв между двумя линиями — вклад скачков.

За что отвечает каждый параметр​

  • Волатильность волатильности: сторона Хестона. Задаёт кривизну улыбки за счёт случайной волатильности. Чем выше, тем шире улыбка, даже без скачков.
  • Корреляция спота и волатильности: задаёт скью от компоненты стохастической волатильности. Чем отрицательнее, тем круче путовое крыло за счёт связи волатильности и цены.
  • Частота скачков: сколько гэпов происходит в год. Ноль = чистый Хестон. Два = примерно один гэп раз в полгода. Поднимает оба крыла.
  • Скью скачков: среднее направление скачка. Отрицательное значение = преобладают обвалы. Делает путовое крыло круче сверх того скью, который уже даёт rho.

Два источника скью​

У модели Бейтса два независимых источника скью:

Источник
Параметр
Что делает
Где важен
Стохастическая волатильность
ρ (корр. спота и волатильности)
Волатильность растёт при падении цены → путовый скью
Все сроки, особенно длинные
Скачки
μⱼ (скью скачков)
Обвалы сильнее ралли → путовый скью
Короткие сроки (скачки внезапны)

На коротком конце (недельные опционы, экспирации через 7 дней) доминирует скью скачков, а на длинном конце доминирует скью стохастической волатильности, обусловленный ванной. Модель Бейтса позволяет учесть оба режима временной структуры.

ℹ️
Приём декомпозиции

Если включать и выключать наложение Хестона, одновременно меняя частоту скачков, видно, какая доля скью приходится на каждый механизм. На рабочем деске такая декомпозиция показывает, откуда идёт P&L по скью: от динамики волатильности или от событийного риска.

Когда важна каждая компонента​

Срок
Доминирующий механизм
Почему
1-7 дней
Скачки
Динамике волатильности не хватает времени. Цену крыла задаёт один гэп.
7-30 дней
Оба
Вклад дают и скачки, и стохастическая волатильность. Здесь Бейтс выигрывает у каждой модели по отдельности.
30-90 дней
Стохастическая волатильность
Несколько смен режима волатильности усредняют вклад скачков. Скью определяет rho.
90+ дней
Стохастическая волатильность
Центральная предельная теорема. Скачки выглядят как дополнительная диффузия. Всё определяет возврат к среднему.
💡
Когда брать модель Бейтса

Ценообразование по всей кривой сроков, когда крылья коротких опционов формируются скачками, а скью длинных опционов формируется стохастической волатильностью. Одна модель, два режима.

Сильные стороны и ограничения​

Сильная сторона
Что это значит для вас
Описывает и плавные движения, и гэпы
Единственный способ одной моделью одновременно подогнать короткие и длинные улыбки на крипторынке.
Сохраняется полузамкнутое ценообразование
Обратное преобразование Фурье работает так же, как у Хестона. Достаточно быстро для греков в реальном времени.
Декомпозируемый скью
P&L по скью можно разложить на вклад скачков и вклад стохастической волатильности.
Промышленный уровень
Применяется серьёзными десками экзотики для барьерных, бермудских опционов и автоколлов.
Ограничение
Что это значит для вас
7+ параметров
Хестон (5) + скачки (3) = слишком много ручек. Калибровка капризна и может быть неустойчивой.
Идентифицируемость параметров
Стохастическая волатильность и скачки могут давать похожие улыбки. Разделить их только по данным улыбки трудно.
Скачки независимы и одинаково распределены
Реальные обвалы идут кластерами. Скачки Бейтса независимы: нет ни заражения, ни инерции.
Избыточна для ванильных опционов
Если нужно лишь подогнать текущую улыбку, SVI проще и устойчивее.
⚠️
Предупреждение о калибровке

С 7+ свободными параметрами можно подогнать почти что угодно, включая шум. Дески фиксируют часть параметров (kappa, theta) по временной структуре подразумеваемой волатильности и ежедневно калибруют только волатильность волатильности, rho и параметры скачков. Никогда не отпускайте все параметры одновременно.

Бейтс в сравнении с альтернативами​

Бейтс
Хестон
Мертон
SLV
Крылья на коротких сроках
Крутые (скачки)
Слишком пологие
Крутые (скачки)
Точная подгонка
Улыбка на длинных сроках
Гладкая (стох. вол.)
Гладкая (стох. вол.)
Затухает
Точная подгонка
Скорость оценки
Быстро (Фурье)
Быстро (Фурье)
Быстро (ряды)
Медленно (PDE/MC)
Параметры
7-8
5
4
Много (сетка локальной вол.)
Калибровка
Капризная
Умеренная
Простая
Сложная
Лучше всего для
Экзотика по всей кривой сроков
Торговля волатильностью на длинных сроках
События на коротких сроках
Когда нужна точная подгонка

Обозреватель уравнений​

Исследователь формул

$
$
дн.
%
%
Цена колла
$8300
Цена пута
$7890
Δ колла
0.555
d₁
0.102
Вега
$114

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Почему модель Бейтса лучше описывает короткие улыбки на крипторынке, чем одна модель Хестона?
Q: У модели Бейтса два независимых источника путового скью. Что это за источники и когда доминирует каждый?
Q: В чём главная практическая проблема калибровки модели Бейтса?
Q: Когда для оценки экзотики стоит выбрать модель Бейтса, а не SLV?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Математическая интуиция​

Изучить модель Бейтса с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

Этот урок представляет модель Бейтса как Хестона плюс скачки, затем показывает, какие параметры управляют плавным скью, какие отвечают за гэп-риск и почему короткий конец меняется первым.

См. также:

Последнее обновление