Модель CEV

CEV (Constant Elasticity of Variance, постоянная эластичность дисперсии) — простейшая модель, порождающая скью. Она лежит в основе SABR: обнулите в SABR волатильность волатильности (vol-of-vol), и вы получите CEV. Всё определяется одним параметром.

💡

Один параметр: бета

Бета определяет, как волатильность масштабируется с ценой базового актива. Чем ниже бета, тем сильнее скью. В этом и состоит вся модель.

Исследуйте бету

Перемещайте ползунок и смотрите, как меняется улыбка при переходе беты от логнормального режима (плоская улыбка) к нормальному (крутой скью). Синяя пунктирная линия всегда показывает эталон Блэка-Шоулза (бета = 1), чтобы был виден скью, который добавляет CEV.

Исследователь смайла CEV

Традиционное допущение для ставок. Волатильность растёт при падении цены, создавая умеренный скью путов.

β (бэкбон)0.50

0 = нормальная, 0.5 = квадратный корень, 1 = логнормальная (Black-Scholes)

Потяните β вниз, чтобы увидеть, как появляется скью. Синяя пунктирная линия показывает плоский смайл Black-Scholes для сравнения.

Что делает бета

• бета = 1 (логнормальная модель): процентные движения постоянны. Актив по 50 и актив по 500 одинаково проходят по 2% в день. Это Блэк-Шоулз: идеально плоская улыбка, скью нет.
• бета = 0,5 (корневая модель): промежуточный вариант. Подразумеваемая волатильность растёт при снижении цены, но не так агрессивно, как в нормальной модели. Традиционное допущение на рынках процентных ставок.
• бета = 0 (нормальная модель): постоянны долларовые движения. Движение на $1 остаётся движением на$1 при любом уровне цены. Волатильность в процентах резко растёт при падении цены, скью максимален. Волатильность ATM остаётся постоянной, а волатильность OTM пут-опционов резко растёт.

Сильные стороны и ограничения

Сильная сторона

Что это значит для вас

Один параметр

Переобучать нечего. Бета задаёт единственное допущение о связи волатильности и цены.

Естественный скью

Более низкая бета автоматически даёт пут-скью, без дополнительной подгонки.

Основа для SABR

Понимание CEV даёт интуицию о том, что делает параметр бета внутри SABR.

Ограничение

Что это значит для вас

Нет кривизны улыбки

CEV даёт скью (наклон), но не улыбку (кривизну). Оба крыла не поднимаются: для этого нужна волатильность волатильности, как в SABR.

Статичность

Это модель локальной волатильности. Она описывает, как ведёт себя волатильность сейчас, но не то, как сама волатильность может случайно меняться.

Не используется отдельно

CEV всегда входит в состав SABR или другой модели. Для торговли CEV саму по себе никто не калибрует.

💡

Строительный блок, а не торговая модель

CEV объясняет, что делает бета внутри SABR, а SABR уже торговая модель. Если бета в SABR вызывает вопросы, вернитесь сюда. Для дельта- и вега-хеджирования нужна модель, которая учитывает и временную структуру.

Калькулятор уравнений

Пересчёт между подразумеваемой волатильностью, полной дисперсией, логарифмической монейностью и ценами опционов.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Что происходит с улыбкой волатильности при снижении беты от 1 к 0?

Q: Почему CEV не может дать улыбку волатильности (кривизну в обоих крыльях)?

Q: Какая модель получится, если в SABR положить nu = 0?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Математическая интуиция

Изучить CEV с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

Урок начинается с идеи о том, что волатильность может зависеть от уровня цены, затем показывает, как бета создаёт скью и какое место CEV занимает между Блэком-Шоулзом, нормальной моделью и SABR.

---

См. также:

• Модель SABR: CEV плюс стохастическая волатильность волатильности
• Смещённая диффузия: ещё одна простая модель скью (смещённая логнормальная)
• Скью: почему улыбка наклоняется
• Методы интерполяции: сравнение всех моделей улыбки