Смещённая диффузия

Смещённая диффузия (displaced diffusion, её также называют сдвинутой логнормальной моделью) берёт модель Блэка-Шоулза и сдвигает ценовую ось. Вместо того чтобы моделировать форвардную цену $F$ напрямую, логнормальной считается величина $F + d$, где $d$ — смещение. Так возникает скью без всякой стохастической волатильности, только за счёт сдвига координат.

💡

Сдвиг координат создаёт скью

Отрицательное смещение позволяет базовому активу уходить ниже нуля (полезно для процентных ставок). Положительное смещение сдвигает улыбку вправо. Сдвиг нарушает симметрию Блэка-Шоулза и создаёт скью. Уровень ATM остаётся прежним, а опционы OTM переоцениваются.

Исследуйте параметры

Двигайте ползунок смещения, чтобы увидеть, как сдвиг ценовой оси создаёт асимметрию. Ползунок волатильности управляет общим уровнем. Синяя пунктирная линия показывает случай без сдвига (Блэк-Шоулз).

Исследователь смещённой диффузии

Нулевое смещение. Чистое логнормальное распределение — плоская улыбка, без скью.

Уровень волатильности40%

Базовая волатильность смещённого процесса

Смещение (d)0

Отрицательное = допускает отрицательные цены, Положительное = сдвиг вправо

Подвигайте ползунок смещения, чтобы увидеть, как сдвиг ценовой оси создаёт скью. Синяя пунктирная линия показывает несмещённую улыбку для сравнения.

За что отвечает каждый параметр

• sigma (уровень волатильности): Подразумеваемая волатильность, применяемая к сдвинутому форварду. Чем выше sigma, тем дороже всё.
• смещение (d): На сколько сдвигается ценовая ось. Отрицательное d создаёт пут-скью (волатильность растёт при снижении цены). Положительное d даёт умеренный колл-скью. Нулевое смещение соответствует стандартной модели Блэка-Шоулза.

Сильные стороны и ограничения

Сильная сторона

Что это значит для вас

Работает с отрицательными значениями

При отрицательном смещении модель допускает отрицательные цены базового актива. Это стало критически важным, когда процентные ставки ушли в минус.

Аналитическое ценообразование

Это буквально Блэк-Шоулз со сдвинутыми входными данными. Каждая формула BS, каждая грека переносятся без изменений.

Два параметра

Уровень волатильности и смещение. Легко калибровать, сложно переобучить.

Ограничение

Что это значит для вас

Нет кривизны улыбки

Как и CEV, смещённая диффузия даёт скью (наклон), но не улыбку (кривизну). Она не может описать рыночную улыбку, загибающуюся вверх на обоих крыльях.

Только линейный скью

Скью, который даёт модель, почти линеен по страйкам. Реальный рыночный скью имеет кривизну, особенно для краткосрочных опционов.

Произвольное смещение

У конкретного значения смещения нет экономического обоснования. Это ручка подгонки, а не содержательный вывод модели.

💡

Кратчайший путь от Блэка-Шоулза к скью

Смещённая диффузия — самый быстрый способ добавить скью в модель Блэка-Шоулза. Хорошая отправная точка, но реальному рынку нужно больше параметров. Для корректного хеджирования по дельте и веге по всей временной структуре нужна более богатая модель.

Калькулятор уравнений

Пересчитывайте подразумеваемую волатильность, полную дисперсию, логарифмическую монейность и цены опционов друг в друга.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Как отрицательное смещение влияет на улыбку волатильности?

Q: Почему смещённая диффузия была популярна на рынках ставок в 2014-2016 годах?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Математическая интуиция

Изучить смещённую диффузию с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

В этом уроке простым языком объясняется приём со сдвигом оси, показывается, как параметр смещения меняет улыбку, и модель связывается с интуицией Блэка-Шоулза.

---

См. также:

• Модель CEV: ещё одна простая модель скью (степенная основа)
• Модель SABR: полноценная модель стохастической волатильности (основа CEV + волатильность волатильности)
• Скью: почему улыбка наклонена
• Методы интерполяции: сравнение всех моделей улыбки