Эта страница переведена автоматически. Оригинал на английском языке является каноническим. Читать на английском →
Перейти к основному содержимому

Математическое ожидание (EV)

Математическое ожидание (expected value, EV) отвечает на один вопрос: если бы я совершил эту же сделку тысячи раз, остался бы я в плюсе или в минусе?

Это самое важное понятие в трейдинге. Не технический анализ. Не графические паттерны. Не «уверенность в идее». Каждый прибыльный торговый деск в мире, от маркетмейкеров до хедж-фондов, работает по одному принципу: находит сделки с положительным EV и повторяет их.

Суть

EV показывает, сколько вы рассчитываете заработать (или потерять) в среднем на одну сделку. Чтобы его получить, нужно умножить каждый возможный исход на его вероятность и сложить результаты.

Начнём с простого: подбрасывание монеты​

Прежде чем переходить к опционам, представьте пари. Вам предлагают подбросить монету:

  • Орёл: вы выигрываете $200
  • Решка: вы теряете $100

Стоит ли соглашаться? Интуиция может подсказать: «50 на 50, рискованно». Но посчитайте:

Честная монета: стоит ли принимать пари?
50%+$200Орёл (выигрыш)50%$-100Решка (проигрыш)
50% × +$200 = +$100 (Орёл (выигрыш))
50% × $-100 = $-50.00 (Решка (проигрыш))
EV = +$50.00 на сделку

EV составляет +$50 за бросок. Такое пари стоит принимать каждый раз, когда его предлагают. Отдельные броски вы будете проигрывать, но выигрыши достаточно крупные, чтобы с запасом покрыть потери.

Ошибка новичков номер один

Доля прибыльных сделок и EV не одно и то же. Сделка, которая выигрывает в 80% случаев, может иметь отрицательное EV. Сделка, которая проигрывает в 60% случаев, может иметь положительное EV. Значение имеет то, сколько вы выигрываете и сколько теряете, с учётом того, как часто происходит каждый исход.

Формула​

EV = P(win) × gain + P(loss) × loss

Наведите курсор на каждый член формулы, чтобы увидеть определение. «loss» отрицателен, поэтому второй член вычитается из первого.

Вот и вся формула. Всё остальное на этой странице посвящено её применению.

Почему доля прибыльных сделок вводит в заблуждение​

В эту ловушку попадает большинство новичков. Сравните двух трейдеров:

Трейдер A: 80% прибыльных сделок

Продаёт OTM пут-опционы

  • Выигрывает 80 сделок из 100
  • Средний выигрыш: +$50
  • Средний убыток: -$400
  • Итого: (80 × $50) + (20 × -$400) = -$4,000
  • Результат: УБЫТОК $4,000

Трейдер B: 35% прибыльных сделок

Покупает OTM колл-опционы

  • Выигрывает 35 сделок из 100
  • Средний выигрыш: +$600
  • Средний убыток: -$100
  • Итого: (35 × $600) + (65 × -$100) = +$14,500
  • Результат: ПРИБЫЛЬ $14,500

Трейдер A выглядит гением в 80% случаев. Трейдер B выглядит неудачником в 65% случаев. Но зарабатывает именно трейдер B. Поэтому значение имеет EV, а не доля прибыльных сделок.

Трейдер A: высокая доля прибыльных сделок, отрицательное EV
80%+$50Выигрыш (80%)20%$-400Убыток (20%)
80% × +$50 = +$40.00 (Выигрыш (80%))
20% × $-400 = $-80.00 (Убыток (20%))
EV = $-40.00 на сделку
Трейдер B: низкая доля прибыльных сделок, положительное EV
35%+$600Выигрыш (35%)65%$-100Убыток (65%)
35% × +$600 = +$210 (Выигрыш (35%))
65% × $-100 = $-65.00 (Убыток (65%))
EV = +$145.00 на сделку
💡

Стратегия трейдера A — классическое «собирать мелочь перед асфальтовым катком». Небольшие частые выигрыши приятны. Но когда приходит убыток, он катастрофичен по сравнению с выигрышами. Продавцы опционов, игнорирующие EV, постоянно попадают в эту ловушку.

Калькулятор EV​

Подставьте свои цифры. Пробуйте разные комбинации, чтобы почувствовать, как взаимодействуют вероятность и размер выплаты.

win_contribution = 40% × +$500 = +$200.00
loss_contribution = 60% × -$200 = -$120.00
EV = +$200.00 + (-$120.00) = +80.00
Expected Value per Trade
+$80.00
Positive EV. Repeating this trade makes money on average.

Применяем EV к опционам​

Теперь возьмём реальную опционную сделку. Вы покупаете колл-опцион на BTC с премией $200. Ваша оценка:

  • 40% вероятность, что BTC вырастет настолько, что к экспирации опцион будет стоить 700(чистаяприбыль∗∗+700 (чистая прибыль **+500**)
  • 60% вероятность, что опцион истечёт без стоимости (вы теряете уплаченную премию $200)
Колл-опцион на BTC: премия $200, 40% вероятность прибыли $500
40%+$500Экспирация в деньгах (ITM)60%$-200Экспирация вне денег (OTM)
40% × +$500 = +$200 (Экспирация в деньгах (ITM))
60% × $-200 = $-120 (Экспирация вне денег (OTM))
EV = +$80.00 на сделку

EV составляет +$80 на сделку. В 60% таких сделок вы будете терять деньги. Психологически это может быть тяжело. Но 40% прибыльных сделок приносят достаточно, чтобы с запасом это компенсировать.

На 100 сделках: 40 выигрышей по +500 = 20,000. 60 убытков по -200 = -12,000. Чистая прибыль: 8,000 долларов.

Больше двух исходов​

У большинства опционных сделок исходов больше, чем «выиграл или проиграл». Колл может истечь глубоко в деньгах, немного в деньгах или без стоимости. Формула EV легко это учитывает, достаточно добавить строки:

Колл на BTC с тремя возможными исходами
15%+$1.5kСильный рост (глубоко ITM)25%+$300Умеренный рост (ITM)60%$-200Истекает без стоимости
15% × +$1.5k = +$225 (Сильный рост (глубоко ITM))
25% × +$300 = +$75.00 (Умеренный рост (ITM))
60% × $-200 = $-120 (Истекает без стоимости)
EV = +$180.00 на сделку

Логика та же, детализация выше. Исход глубоко в деньгах редкий, но крупный, и он вносит заметный вклад в итоговое EV.

Когда покупка, а когда продажа даёт положительное EV?​

Ни покупка, ни продажа опционов сама по себе не имеет положительного или отрицательного EV. Всё зависит от того, правильно ли рынок оценивает опцион.

Стратегия
Положительное EV, когда...
Отрицательное EV, когда...
Покупка коллов/путов
Подразумеваемая волатильность занижена. Рынок недооценивает, насколько сильно сдвинется актив.
IV уже завышена. Вы переплачиваете за защиту или за потенциал роста.
Продажа коллов/путов
Подразумеваемая волатильность завышена. Вы получаете больше премии, чем оправдывает реальный риск.
Обвал или ралли за одно событие уничтожает премию, собранную за месяцы.
Стрэддлы (покупка волатильности)
Реализованная волатильность за время жизни опциона превысит подразумеваемую.
Тета съедает позицию быстрее, чем движется базовый актив.
⚠️
EV хорошо ровно настолько, насколько точны ваши оценки вероятностей

Математика проста. Сложно оценить вероятности. Цены опционов уже содержат консенсусное распределение вероятностей (через подразумеваемую волатильность). Чтобы получить положительное EV, вы должны считать, что консенсус ошибается. Если ваша оценка не лучше рыночной, после комиссий ваше EV будет слегка отрицательным.

EV во времени: симуляция сходимости​

Здесь EV становится интуитивно понятным. График ниже моделирует 200 сделок с заданными вами вероятностями и выплатами. Синяя линия показывает ваш фактический накопленный P&L (случайный). Пунктирная зелёная линия показывает, где вы должны оказаться согласно EV.

Нажмите Re-shuffle несколько раз. Обратите внимание: синяя линия блуждает случайным образом, но в итоге снова и снова оказывается рядом с пунктирной проекцией EV. Это закон больших чисел в действии.

Накопленный P&L за 200 сделок
40%
$500
$200
06k12k18k24kЛиния EV050100150200Сделка №
EV / сделка
+80
Выигрыши / проигрыши
88 / 112
Доля выигрышей
44%
Итоговый P&L
+21.6k
Синяя линия — фактический P&L (случайный). Пунктирная линия — проекция EV. Нажмите «Пересчитать», чтобы запустить новую симуляцию.

Попробуйте такие эксперименты:

Попробуйте
Что вы увидите
Установите Win Prob 30%, Win $700, Loss $100
Низкая доля прибыльных сделок, но зелёная линия EV идёт вверх. Положительное EV, хотя большинство сделок убыточны.
Установите Win Prob 90%, Win $20, Loss $500
Высокая доля прибыльных сделок, но линия EV идёт вниз. Отрицательное EV, хотя почти все сделки прибыльны.
Нажмите Re-shuffle 10 раз с настройками по умолчанию
Некоторые прогоны уходят в минус на 50+ сделок, прежде чем восстановиться. Дисперсия реальна даже при положительном EV.
Установите Win Prob 50%, Win $100, Loss $100
EV ровно ноль. Синяя линия совершает случайное блуждание. Нет преимущества, нет и дрейфа.
💡
Дисперсия и отрицательное EV не одно и то же

Стратегия с положительным EV может терять деньги 20, 50 или даже 100 сделок подряд по чистой случайности. Это не значит, что стратегия сломана. Это значит, что выборка слишком мала. Поэтому профессиональным трейдерам важен объём: нужно достаточно сделок, чтобы математика сработала. Если ваша стратегия даёт 5 сделок в месяц, могут пройти годы, прежде чем вы сможете отличить мастерство от везения.

Почему ваш график P&L обманывает​

В теории вероятностей есть контринтуитивный результат, называемый законом арксинуса (впервые описан Полем Леви; Талеб применяет его к P&L трейдера в Dynamic Hedging, глава 3). В честной игре (EV = 0) естественно ожидать, что вы проведёте примерно полгода в плюсе и полгода в минусе. Это неверно. Самый вероятный исход: провести почти весь год по одну сторону, то есть 11 месяцев в плюсе и 1 в минусе либо 11 месяцев в минусе и 1 в плюсе. Ровно по 6 месяцев с каждой стороны — наименее вероятный исход.

Вероятность времени, проведённого в плюсе (честная игра, 1 год)

1м
2м
3м
4м
5м
6м
7м
8м
9м
10м
11м
Наиболее вероятноНаименее вероятноНаиболее вероятно

Отсюда следует: трейдер, который был в плюсе 10 месяцев подряд, не обязательно умелый. Трейдер, который терял 10 месяцев подряд, не обязательно неумелый. Графики накопленного P&L за короткие периоды сильно вводят в заблуждение. Единственный надёжный сигнал — большое количество независимых сделок, поэтому в симуляции сходимости выше используется 200.

⚠️
Торговая история в основном состоит из шума

Если посадить бесконечное количество обезьян за торговые терминалы, одна из них покажет 10-летнюю историю, достойную Уоррена Баффетта. Это не значит, что у обезьяны есть преимущество. Доля везения относительно мастерства в торговой истории снижается с ростом частоты сделок: для маркетмейкера, совершающего тысячи сделок в день, год прибыльной работы — сильное свидетельство преимущества. Для управляющего фондом, делающего 10 сделок в год, даже десятилетие прибылей может оказаться случайностью. Всегда спрашивайте: сколько независимых ставок стоит за этой историей?

Этот подход восходит к тому, как Талеб применяет лемму Бореля-Кантелли к торговой истории трейдеров (Dynamic Hedging, глава 3). Исходный математический результат доказывает, что при достаточном числе испытаний даже крайне маловероятные события становятся неизбежными.

Что такое преимущество (edge)?​

Преимущество (edge) — это то, что делает ваше EV положительным. Без преимущества ваше EV в любой сделке равно нулю или слегка отрицательно (после комиссий). Преимущество означает, что вы знаете что-то, что рыночная цена учитывает не полностью.

Реальное преимущество

Откуда берётся положительное EV

  • Более точные оценки волатильности (вы считаете, что реализованная волатильность будет отличаться от IV)
  • Более быстрая информация (вы реагируете на ончейн-данные или новости раньше, чем подстроятся цены)
  • Структурные преимущества (более дешёвое финансирование, более эффективная маржа, возможность держать риск на балансе)
  • Маркетмейкинг (вы забираете спред бид-аск в каждой сделке)

Не преимущество

Что ошибочно принимают за преимущество

  • «Я уверен, что BTC вырастет» (уверенность не равна анализу)
  • «Эта стратегия на бэктесте дала 300%» (подгонка под исторические данные)
  • «Опционы обычно истекают без стоимости» (премия это уже учитывает)
  • «Я слежу за кошельком кита» (к моменту, когда вы это видите, видят и все остальные)

Типичные ловушки EV​

Ловушка
Как это выглядит
Что происходит на самом деле
Собирать мелочь перед асфальтовым катком
Вы каждую неделю зарабатываете $50 на продаже OTM путов. Лёгкие деньги.
Один обвал забирает прибыль за 6 месяцев. EV всё это время было отрицательным, просто обратная связь пришла с опозданием.
Игнорирование комиссий и проскальзывания
Ваша таблица показывает EV +$5 на сделку.
После $6 на спред и комиссии ваше реальное EV равно -$1. Вы платите бирже за возможность торговать.
Путаница между подразумеваемой и фактической вероятностью
Опционный рынок закладывает 10% вероятность обвала.
Эти 10% включают премию за риск. Фактическая вероятность может быть 6%, но участники переплачивают за защиту, завышая подразумеваемую цифру.
Размер позиции по степени уверенности
Вы увеличиваете размер на своих лучших идеях.
Сделка с высокой уверенностью и тонким преимуществом при слишком большом размере превращает стратегию с положительным EV в путь к разорению. Одна неудачная серия, и вы вне игры.

Мышление категориями EV​

Самый важный сдвиг, который может сделать трейдер: перестать оценивать сделки по результату и начать оценивать их по процессу.

Мышление результатом

Как оценивают новички

  • «Сделка принесла убыток, значит, она была плохой»
  • «Я заработал, значит, моя стратегия работает»
  • «Пора перестать продавать путы, в прошлом месяце я обжёгся»
  • Оценивает решение по итогу

Мышление категориями EV

Как оценивают профессионалы

  • «У сделки было положительное EV. Убыток — ожидаемая дисперсия.»
  • «Я заработал, но было ли у сделки положительное EV, или мне просто повезло?»
  • «Продажа пута имела положительное EV. Продолжу продавать, но меньшим размером.»
  • Оценивает решение по процессу

EV в разных областях​

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Вы продаёте пут-опцион на BTC и получаете премию 150. Вероятность того, что пут истечёт в деньгах, 15%, ожидаемый убыток в этом случае 1,200. Чему равно EV?
Q: Два трейдера заработали по +10,000 за прошлый месяц. Трейдер A совершил 200 небольших сделок. Трейдер B сделал 3 крупные ставки. Чей результат информативнее?
Q: У 7-дневного ATM опциона на BTC подразумеваемая волатильность 65%, а вы считаете, что реализованная волатильность составит 55%. Что даёт положительное EV: покупка или продажа?
Q: Вы три недели работаете по стратегии с положительным EV и находитесь в минусе на 8%. Стоит ли остановиться?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

См. также:

Последнее обновление