Модель Хестона

Хестон -- первая модель стохастической волатильности с практически применимой формулой ценообразования. Волатильность следует процессу, который возвращается к долгосрочному уровню (а не уходит в бесконечность), и именно это мы наблюдаем на рынке: волатильность резко растёт, а затем затухает. Модель порождает скью и улыбку через корреляцию между движениями цены и движениями волатильности и строит полную поверхность волатильности из одного набора параметров.

Для крипторынка Хестон не обязателен. Но все последующие модели стохастической волатильности, будь то SABR, rough Bergomi или стохастическая локальная волатильность, выросли из этой идеи. Понять Хестона значит понять ДНК современного моделирования подразумеваемой волатильности.

💡

Концептуальный предок

Хестон для стохастической волатильности то же, что Блэк-Шоулз для ценообразования опционов: фундамент, который все остальные модели расширяют или от которого отталкиваются. Для крипты его необязательно применять, но его нужно понимать, чтобы разбираться в моделях, которые вы действительно используете.

Интуиция параметров

Меняйте каждый параметр и смотрите, как меняется улыбка Хестона.

Исследователь улыбки Хестона

Типичная улыбка для акций. Сильный скью путов из-за отрицательного ρ, умеренная волатильность волатильности.

κ (возврат к среднему)2.0

Скорость возврата дисперсии к θ

θ (долгосрочная дисперсия)0.040

Уровень долгосрочной дисперсии. Примерно равен квадрату долгосрочной ATM-волатильности

σ (вол волатильности)0.500

Управляет кривизной улыбки. 0 = плоская (BS).

ρ (корреляция спот-вол)-0.700

Отрицательная = скью путов (обычный случай)

v₀ (начальная дисперсия)0.040

Текущая дисперсия. Соотношение текущей и долгосрочной задаёт наклон временной структуры

IV ATM

20.0%

Наклон крыла путов

+0.28%/strike

Наклон крыла коллов

-0.13%/strike

Временная структура

Текущая = долгосрочной (плоская временная структура)

ρ управляет скью (наклоном), σ — кривизной (шириной крыльев), κ/θ/v₀ — уровнем волатильности и временной структурой.

Пять параметров вкратце:

Параметр

Что он контролирует

Влияние на улыбку

kappa -- скорость возврата к среднему

Насколько быстро волатильность возвращается к долгосрочному уровню

Высокая kappa быстро выравнивает временную структуру

theta -- долгосрочная дисперсия

Равновесный уровень волатильности, к которому стремится процесс

Задаёт общий уровень улыбок на дальних сроках

sigma -- волатильность волатильности

Насколько волатилен сам процесс волатильности

Чем выше sigma, тем выше оба крыла (более тяжёлые хвосты)

rho -- корреляция спот-вол

Связь между движениями цены и волатильности

Отрицательная rho делает левое крыло круче (пут-скью)

v0 -- начальная дисперсия

Текущий уровень волатильности

Разрыв между v0 и theta наклоняет временную структуру

Как ощущается каждый параметр

• kappa (скорость возврата к среднему): насколько быстро волатильность возвращается к норме. Высокая kappa означает, что шоки волатильности быстро гаснут и временная структура выравнивается. Низкая kappa означает, что режимы волатильности держатся долго. В крипте kappa обычно низкая: режимы волатильности устойчивы.

• theta (долгосрочная дисперсия): уровень волатильности, к которому процесс тяготеет со временем. Квадратный корень из theta примерно равен долгосрочной волатильности на деньгах (ATM). Для BTC это обычно 50-70% годовых.

• sigma (волатильность волатильности): отвечает за ширину улыбки. При sigma = 0 улыбки нет. С ростом sigma оба крыла поднимаются. Та же идея, что у nu в SABR. Высокая sigma означает тяжёлые хвосты и дорогие крылья вне денег (OTM).

• rho (корреляция спот-вол): отвечает за скью. Отрицательная rho означает, что волатильность растёт при снижении базового актива. В крипте rho обычно от -0.5 до -0.8. Чем отрицательнее, тем круче пут-скью. Это напрямую определяет поведение при хеджировании дельты.

• v0 (начальная дисперсия): текущий уровень волатильности. Если v0 выше theta, временная структура имеет нисходящий наклон (ожидается затухание волатильности). Если v0 ниже theta, наклон восходящий. После всплеска волатильности v0 >> theta, и временная структура инвертируется.

ℹ️

Возврат к среднему отличает Хестона от SABR

Процесс волатильности у Хестона возвращается к долгосрочному уровню. У SABR нет: волатильность может дрейфовать бесконечно. У Хестона волатильность не может уйти в бесконечность. У SABR может, поэтому SABR иногда даёт нереалистичные улыбки на дальних сроках. Для хеджирования веги возврат к среднему означает, что долгосрочная вега-экспозиция затухает предсказуемо.

💡

Два параметра, две экспозиции по грекам

rho отвечает за скью (и экспозицию по ванне). sigma отвечает за кривизну улыбки (и экспозицию по волге). Эти две связи и составляют суть модели Хестона.

Сильные стороны и ограничения

Сильная сторона

Что это значит для вас

Быстрая формула ценообразования

В отличие от большинства моделей стохастической волатильности, опционы в модели Хестона оцениваются через один интеграл. Тысячи цен в секунду.

Волатильность возвращается к норме

Реалистичное поведение: за всплесками волатильности следует возврат к среднему. Естественная временная структура.

Достаточно гибкая для скью и улыбки

rho управляет скью, sigma управляет кривизной. Пяти параметров хватает для большинства ликвидных рынков.

Огромная экосистема инструментов

Изучается с 1993 года. Библиотеки на любом языке. Если вы столкнулись с проблемой, её уже кто-то решил.

Ограничение

Что это значит для вас

5 параметров = нестабильная калибровка

Разные комбинации параметров дают похожие улыбки. Результаты калибровки могут скакать изо дня в день.

Капризная калибровка

Множество локальных минимумов. Нужны хорошие начальные приближения и методы глобального поиска.

Не описывает краткосрочные крипто-улыбки

На коротких сроках крипто-улыбки слишком крутые и широкие. Хестон слишком гладкий для динамики криптоволатильности.

Слишком плоские крылья

Крылья Хестона стремятся к постоянному наклону. Реальные крипто-улыбки часто имеют более крутые крылья на глубоких OTM-страйках.

⚠️

Не используйте Хестона для калибровки крипто-улыбок

Если вы строите поверхность волатильности для криптоопционов, используйте SVI или SSVI. Калибровка пяти параметров Хестона медленнее, менее стабильна и даёт худшее качество подгонки, чем специализированные модели улыбки. Хестон -- это модель ценообразования, а не инструмент калибровки улыбки. Его ценность концептуальная. Без дополнительных ограничений не обойтись без проблем с календарным арбитражем, тогда как SSVI гарантирует отсутствие календарного арбитража по построению.

Хестон и SABR

Критерий

Хестон

SABR

Динамика волатильности

Возврат к долгосрочному уровню

Случайное блуждание (без возврата к среднему)

Свободные параметры

5

3 (при фиксированной beta)

Ценообразование

Полузамкнутая форма (быстро)

Аппроксимационная формула (ещё быстрее)

Калибровка

Глобальная оптимизация, капризная

Подгонка 2 параметров, быстрая и стабильная

Временная структура

Встроена (возврат к среднему)

Только по отдельным срезам

Краткосрочные улыбки

Слишком гладкие

Лучше (но всё равно ограниченно)

Лучше всего для

Экзотика на акции, FX

Процентные ставки, ванильные FX-опционы

Применение в крипте

Редко

Редко (предпочитают SVI)

💡

Компромисс между Хестоном и SABR

Хестон даёт встроенную согласованность временной структуры: каждый страйк связан с одним и тем же процессом дисперсии. Цена за это: более сложная калибровка и больше параметров. SABR проще и быстрее.

Генеалогическое древо

Каждый раз, когда вы видите модель волатильности со «стохастической дисперсией» или «волатильностью с возвратом к среднему», перед вами потомок Хестона.

Модель

Что изменено по сравнению с Хестоном

SABR

Дисперсия с возвратом к среднему заменена волатильностью со случайным блужданием. Более простая калибровка, понятная интуиция параметров.

Bates

К модели Хестона добавлены скачки. Скачкообразная компонента утяжеляет крылья.

Rough Bergomi

Гладкие траектории дисперсии заменены шероховатыми, рваными. Соответствует наблюдаемой шероховатости волатильности.

Стохастическая локальная волатильность (SLV)

Сочетает стохастическую дисперсию в стиле Хестона с локальной волатильностью. Точная подгонка плюс реалистичная динамика.

Исследователь уравнений

Пересчитывайте подразумеваемую волатильность, полную дисперсию, лог-монейность и цены опционов друг в друга.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

Математическая интуиция

Изучить модель Хестона с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

Этот урок объясняет Хестона как систему с двумя двигателями: движения спота и движения дисперсии. Он разбирает пять параметров, два уравнения и точную причину, по которой отрицательная rho создаёт скью.

---

См. также:

• Модель SABR -- стохастическая волатильность с более простой калибровкой
• Параметризация SVI -- стандарт калибровки улыбки для крипты
• SSVI -- SVI, расширенная на всю поверхность
• Rough Bergomi -- дробная стохастическая волатильность
• Скью -- структура подразумеваемой волатильности по страйкам
• Временная структура -- как улыбка меняется со сроком до экспирации
• Методы интерполяции -- сравнение всех методов

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Что происходит с временной структурой подразумеваемой волатильности, если kappa (скорость возврата к среднему) очень высока?

Q: Почему Хестон плохо подходит для прямой калибровки крипто-улыбок?

Q: Как связаны параметр Хестона rho и грек ванна?

Q: Что даёт Хестон такого, чего нет у SABR?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.