Методы интерполяции поверхности волатильности

к сведению

Это дополнение к странице Как строится поверхность волатильности. Начните с неё, чтобы понять, почему интерполяция так важна.

В поверхности волатильности есть пробелы. Интерполяция их заполняет. От выбора метода зависит, будет ли итоговая поверхность гладкой, свободной от арбитража и устойчивой. На этой странице сравниваются основные подходы.

Сравнение методов интерполяции

Белые точки - единственные реальные рыночные котировки. Все промежуточные значения оценочные. Нажмите на каждый метод, чтобы увидеть его сильные и слабые стороны.

Что может пойти не так

Прежде чем разбирать каждый метод, посмотрите на проблемы своими глазами. Одни и те же 7 рыночных наблюдений, три разных метода интерполяции. Обратите внимание на крылья и на поведение в точках данных.

Что идёт не так: сбои интерполяции

Те же 7 рыночных наблюдений, три разных метода интерполяции. Посмотрите, что происходит на крыльях.

Гладкие полиномиальные кривые. Могут осциллировать и давать выбросы на крыльях.

Белые точки — единственные реальные наблюдения. Нажмите «Сравнить все», чтобы наложить все три метода. Обратите внимание, как сплайн даёт выброс на левом крыле, тогда как SVI остаётся в границах.

---

Непараметрические методы

Эти методы проводят кривую через точки данных, не предполагая конкретной функциональной формы. Они быстрые и простые, но не дают никаких структурных гарантий.

Линейная интерполяция

Соседние точки данных соединяются прямыми отрезками.

Преимущества:

• Реализуется элементарно
• Не требует подгонки и оптимизации
• Детерминированность: одинаковые входные данные всегда дают одинаковый результат

Недостатки:

• Образует острые изломы в каждой точке данных. В этих изломах первая производная разрывна, поэтому греки (особенно гамма) резко скачут на наблюдаемых страйках.
• Нет гарантии отсутствия арбитража бабочки. Прямой отрезок между двумя точками может пройти ниже, чем должна проходить выпуклая улыбка.
• Экстраполяция превращается в чистую догадку (просто продлевается наклон последнего отрезка).

Где применять: быстрые оценки, проверки на здравый смысл, отладка. Не для ценообразования в продакшене.

Интерполяция кубическим сплайном

Между точками данных строятся кусочные кубические многочлены с условием, что первая и вторая производные совпадают в каждом узле. В результате получается $C^2$-гладкая кривая (с непрерывной кривизной).

Название пришло из черчения: сплайнами называли гибкие деревянные рейки, которые чертёжники изгибали вокруг штифтов, чтобы проводить плавные кривые.

Преимущества:

• Гладкая кривая, проходящая через все точки данных
• Не нужно оценивать параметры (сплайн полностью определяется данными и граничными условиями)
• Быстро считается

Недостатки:

• Феномен Рунге: на краях области интерполяции многочлен может сильно выбрасываться за пределы разумного. Для поверхности волатильности это означает IV на крыльях, которая резко взлетает или уходит в минус.
• Осцилляции: между точками данных кубический многочлен может отклоняться вверх или вниз от того, что дала бы нормальная улыбка, образуя вогнутые провалы (арбитраж бабочки).
• Чувствительность к выбросам: одна плохая точка (устаревшая котировка, ошибка ввода) искажает всю кривую, потому что условия гладкости распространяют ошибку дальше.
• Нет контроля над поведением при экстраполяции.

Где применять: визуализация, академическая работа или начальное приближение перед параметрической подгонкой. Не для ценообразования и оценки риска в продакшене.

---

Параметрические методы

Эти методы задают функциональную форму улыбки и подгоняют её параметры под данные. Точную интерполяцию они меняют на структурный контроль.

SVI (Stochastic Volatility Inspired)

Отраслевой стандарт для поверхностей волатильности на крипторынке и рынке акций. Пять параметров на каждый срез экспирации.

$$w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)$$

Подробный справочник: Параметризация SVI

Почему SVI доминирует: SVI находится в оптимальной точке между гибкостью и экономностью. Пять параметров позволяют описать практически любую наблюдаемую форму улыбки, а простые ограничения-неравенства вместе с дешёвой проверкой плотности исключают арбитраж бабочки. Крылья выходят на линейные асимптоты, поэтому экстраполяция остаётся ограниченной и разумной.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

Модель стохастической волатильности, которая выводит улыбку из предположений о том, как меняется волатильность. Четыре параметра: $\alpha$ (уровень волатильности), $\beta$ (показатель CEV), $\rho$ (корреляция спота и волатильности), $\nu$ (волатильность волатильности).

Подробный справочник: Модель SABR

Зачем она нужна: SABR описывает динамику улыбки, а не только её статическую форму. Модель показывает, как должна сдвигаться улыбка при движении базового актива (по умолчанию sticky delta). Поэтому она естественно подходит для процентных свопционов, где динамика улыбки важна для хеджирования.

Локальная волатильность (Дюпир)

Это не метод подгонки в привычном смысле. Модель локальной волатильности выводит поверхность мгновенной волатильности из наблюдаемой поверхности подразумеваемой волатильности. Она отвечает на вопрос: «Какой должна быть мгновенная волатильность в каждой комбинации (спот, время), чтобы в точности воспроизвести эти цены опционов?»

Подробный справочник: Локальная волатильность

Зачем она нужна: локальная волатильность является единственной безарбитражной моделью, которая точно совпадает со всеми наблюдаемыми ценами опционов. Это мост между подразумеваемой волатильностью и движком ценообразования, способным работать с выплатами, зависящими от траектории.

SSVI (Surface SVI)

Расширение SVI, которое моделирует всю поверхность целиком, а не по отдельным срезам. SSVI по построению исключает календарный арбитраж: полная дисперсия гарантированно растёт со сроком до экспирации на каждом страйке.

$$w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)$$

Здесь $\theta_t$ — полная ATM-дисперсия в момент $t$, а $\varphi(\theta_t)$ определяет, как скью меняется со сроком до экспирации.

Компромисс: свободных параметров меньше, чем у посрезового SVI (форма улыбки связана между экспирациями), поэтому на отдельных срезах подгонка может быть чуть хуже. Зато вам никогда не понадобятся последующие исправления календарного арбитража.

---

Сравнительная таблица

Метод

Параметры

Без арбитража?

Экстраполяция

Скорость

Лучше всего для

Линейная

0

Нет

Неограниченная

Мгновенно

Отладка

Кубический сплайн

~12 (неявно)

Нет

Осциллирует

Быстро

Визуализация

SVI

5 на срез

Да (с ограничениями)

Ограниченная линейная

Быстро

Крипто / акции

SABR

4

В основном

Приемлемая

Средне

Ставки / свопционы

Локальная волатильность

Полная сетка

По построению

Н/П (выводится)

Медленно

Ценообразование экзотики

SSVI

~6 (поверхность)

Да (включая календарный)

Ограниченная

Быстро

Согласованность всей поверхности

Как выбрать

• Для ценообразования крипто- и фондовых опционов в продакшене: SVI или SSVI. Индустрия пришла к ним не случайно.
• Для процентных опционов: SABR. Модель отражает динамику улыбки, важную для хеджирования свопционов.
• Для ценообразования экзотических деривативов: локальная волатильность (или гибрид стохастической и локальной волатильности). Здесь нужна вся поверхность, а не отдельные срезы.
• Для быстрого анализа или визуализации: кубический сплайн подойдёт, если вы не торгуете по нему.
• Ни для чего: линейная интерполяция в продакшене. Серьёзно.

---

Калькулятор уравнений

Все методы интерполяции работают с полной дисперсией и логарифмической монейностью. Используйте этот калькулятор для перевода между представлениями.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

См. также:

• Как строится поверхность волатильности - полный конвейер
• Параметризация SVI - подробно об SVI
• Модель SABR - подробно о SABR
• Локальная волатильность - подробно о модели Дюпира