Модели скачков и толстых хвостов

Рынок делает гэпы. Эксплойт протокола, неожиданное решение ФРС, каскад ликвидаций. Модели стохастической волатильности плохо справляются с внезапными скачками. Модели скачков описывают их напрямую: в случайные моменты времени цена мгновенно перескакивает на новый уровень.

💡

Два способа получить толстые хвосты

Модели стохастической волатильности (Heston, SABR) делают случайной саму волатильность. Модели скачков заставляют скачкообразно меняться саму цену. На реальных рынках присутствуют оба эффекта, поэтому в боевых системах их часто комбинируют.

Обзор

Модель

Ключевая идея

Лучше всего подходит для

Merton Jump-Diffusion

Black-Scholes плюс случайные скачки. Первая модель скачков.

Понимание риска обвала, крутизна улыбки на коротких сроках

Kou

Асимметричные скачки. Обвалы сильнее ралли.

Независимая калибровка крыльев

Variance Gamma

Только скачки, без диффузии. Доходности задаются случайными часами.

Толстые хвосты без стохастической волатильности. Академический бенчмарк.

Что их объединяет

Все три модели объясняют толстые хвосты и крутую улыбку на коротких сроках тем, что допускают скачки цены. Различаются они распределением скачков и наличием непрерывной диффузионной компоненты.

Модель

Распределение скачков

Есть диффузия?

Аналитическое решение?

Поведение крыльев

Merton

Логнормальное (симметричное)

Да

Да (в виде ряда)

Симметричное утолщение

Kou

Двойное экспоненциальное (асимметричное)

Да

Да

Независимые левый и правый хвосты

Variance Gamma

Броуновское движение с гамма-субординатором

Нет

Да

Задаётся параметрами скью и эксцесса

Как они связаны между собой

Merton стала первой: берётся Black-Scholes и к нему добавляются случайные скачки из логнормального распределения. Скачки симметричны, поэтому модель одинаково утолщает оба хвоста. Kou устраняет этот недостаток, заменяя логнормальные скачки двойным экспоненциальным распределением с отдельными параметрами для скачков вверх и вниз, так что обвалы могут быть сильнее ралли. Variance Gamma идёт другим путём: диффузия полностью убирается, а доходности моделируются как броуновское движение, идущее по случайным часам (гамма-процессу). Всё движение цены возникает из скачков. Это чисто скачкообразный процесс, в котором параметры эксцесса и скью напрямую управляют формой хвостов.

---

Модели в этом разделе:

• Merton Jump-Diffusion - Первая модель скачков
• Kou Jump-Diffusion - Асимметричные двойные экспоненциальные скачки
• Variance Gamma - Чисто скачкообразный процесс со случайными часами