Модель скачкообразной диффузии Коу с двойным экспоненциальным распределением

Модель Мертона описывает скачки одним нормальным распределением, поэтому скачки вверх и вниз имеют одинаковую форму. Это неверно. Обвалы резче ралли. Гэп на -20% случается за минуты, а рост на +20% занимает недели. Коу (2002) решает эту проблему, задавая скачкам вверх и вниз разные размеры.

Механизм: вместо нормального распределения используются экспоненциальные распределения. Скачки вниз описываются одним экспоненциальным распределением (обычно с большим средним), скачки вверх другим (обычно с меньшим средним). Можно сделать круче крыло путов, не затрагивая крыло коллов, и наоборот.

💡

У каждого крыла свой параметр

В модели Мертона увеличение крутизны крыла путов (через отрицательный средний скачок) влияет и на крыло коллов. В модели Коу крылья независимы. Размер скачка вниз определяет крутизну крыла путов. Размер скачка вверх определяет крутизну крыла коллов. Именно так устроены улыбки на криптовалютном рынке.

Исследуйте параметры

Включите «Show Merton equiv», чтобы сравнить симметричную модель (Мертона) с асимметричными крыльями Коу. Выберите пресет «Crypto crashes», чтобы увидеть крутое крыло путов при пологом крыле коллов.

Исследователь двойной экспоненциальной улыбки Коу

Доминируют скачки вниз: 70% скачков направлены вниз и в 4x крупнее скачков вверх. Крутое крыло путов.

Частота скачков2.00

Ожидаемое число скачков в год. 0 = плоская (BS).

Вероятность скачка вверх0.30

Доля скачков вверх. Низкая = уклон в сторону обвалов.

Размер скачка вверх0.05

Средняя величина скачка вверх (напр. 0.08 = 8%)

Размер скачка вниз0.20

Средняя величина скачка вниз (напр. 0.15 = 15%)

Включите «Показать эквивалент Мертона», чтобы сравнить асимметричные (Коу) и симметричные (Мертон) скачки. Обратите внимание: Коу может независимо делать круче одно крыло.

За что отвечает каждый параметр

• Частота скачков (lambda): сколько скачков происходит в год. Ноль соответствует модели Блэка-Шоулза (плоская улыбка). Чем выше lambda, тем выше оба крыла, поскольку любой скачок, вверх или вниз, повышает стоимость опционов вне денег (OTM).
• Вероятность скачка вверх (p): доля скачков, направленных вверх. Низкое p означает, что большинство скачков приходится на обвалы. Этот параметр смещает баланс скью.
• Размер скачка вверх: средняя величина гэпов вверх. Чем больше, тем круче крыло коллов.
• Размер скачка вниз: средняя величина гэпов вниз. Чем больше, тем круче крыло путов. На криптовалютном рынке он обычно в 2-4 раза больше размера скачка вверх.

Как модель Коу формирует крылья

Изменение параметра

Влияние на крыло путов

Влияние на крыло коллов

Интуиция

Увеличить размер скачка вниз

Становится круче

Почти не меняется

Более сильные обвалы делают защитные путы дороже

Увеличить размер скачка вверх

Почти не меняется

Становится круче

Более сильные ралли делают крыло коллов дороже

Снизить вероятность скачка вверх

Становится круче

Становится положе

Больше скачков вниз означает перекос в сторону обвалов

Увеличить частоту скачков

Поднимается

Поднимается

Больше событий означает больший хвостовой риск в обе стороны

ℹ️

Независимое управление крыльями

В модели Мертона увеличение крутизны крыла путов через отрицательный средний скачок также влияет на крыло коллов (нормальное распределение симметрично относительно среднего). В модели Коу размер скачка вниз управляет крылом путов, а размер скачка вверх управляет крылом коллов. Включите «Show Merton equiv», чтобы увидеть разницу.

Коу и Мертон

Коу

Мертон

Распределение скачков

Двойное экспоненциальное (асимметричное)

Нормальное (симметричное относительно среднего)

Независимость крыльев

Крылья путов и коллов задаются раздельно

Изменение скью влияет на оба крыла

Убывание хвостов

Экспоненциальные хвосты (тяжелее нормальных)

Гауссовы хвосты (тоньше)

Параметры

5 (σ, λ, p, η₁, η₂)

4 (σ, λ, μ_J, σ_J)

Оценка барьерных и lookback-опционов

Есть решение в замкнутой форме

Нет решения в замкнутой форме (нужен Монте-Карло)

Соответствие криптовалютному рынку

Лучше (асимметричные крылья соответствуют реальности)

Приемлемое (но с трудом обеспечивает независимость крыльев)

Почему это важно для криптотрейдеров

Гэп-риск на криптовалютном рынке сильно асимметричен:

Тип события

Типичный размер

Скорость

Параметр Коу

Каскад ликвидаций

от -10% до -30%

Минуты

Размер скачка вниз (большой)

Гэп из-за сбоя биржи

В любую сторону, от -20% до +10%

Мгновенно

Оба размера скачков + вероятность

Ралли на одобрении ETF

от +5% до +15%

Часы

Размер скачка вверх (умеренный)

Депег стейблкоина

от -5% до -50%

Блоки

Размер скачка вниз (очень большой)

Обратите внимание на закономерность: движения вниз быстрее и крупнее движений вверх. Модель Мертона не может чисто описать эту асимметрию: среднее можно сдвинуть в отрицательную область, но симметрия нормального распределения относительно этого среднего всё равно переносится на крыло коллов. Двойное экспоненциальное распределение Коу естественным образом разделяет эти два эффекта.

💡

Модель скачков для независимой подгонки крыльев

Модель Коу разделяет крылья путов и коллов. Размер скачка вниз отвечает за обвалы. Размер скачка вверх отвечает за ралли. Они не мешают друг другу. Если вы ведёте OTM-путы и коллы как отдельные книги (а на криптовалютном рынке так и следует делать), модель Коу соответствует этой структуре.

Исследование уравнений

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: В чём ключевое преимущество модели Коу перед моделью Мертона при подгонке улыбок волатильности?

Q: Почему для размеров скачков на криптовалютном рынке экспоненциальные хвосты реалистичнее гауссовых?

Q: Что произойдёт с крылом коллов, если увеличить размер скачка вниз с 10% до 25%?

Q: Какое практическое преимущество даёт модель Коу перед моделью Мертона при оценке экзотических опционов?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Построение математической интуиции

Изучить модель Коу с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

В этом уроке модель объясняется как два отдельных механизма скачков, вверх и вниз, затем разбирается интуиция двойного экспоненциального распределения и то, почему оно позволяет управлять крыльями точнее, чем модель Мертона.

---

См. также:

• Скачкообразная диффузия Мертона: предшественница с симметричными скачками
• Модель Бейтса: сочетает стохастическую волатильность со скачками Мертона
• Variance Gamma: чисто скачкообразная модель без диффузии
• Модель Хестона: стохастическая волатильность (другой способ получить улыбку)
• Скью: почему улыбка наклонена
• Блэк-Шоулз: базовая модель без скачков
• Методы интерполяции: сравнение всех методов