Локальная волатильность

к сведению

На этой странице рассматривается модель локальной волатильности Дюпира. О том, какое место она занимает в процессе построения поверхности волатильности, читайте в разделе Как строятся поверхности. Сравнение с другими методами приведено в разделе Методы интерполяции.

Локальная волатильность это мгновенная волатильность базового актива при определённом уровне цены в определённый момент времени. Это функция $\sigma_{\text{loc}}(S, t)$, которая при подстановке в диффузионную модель в точности воспроизводит все наблюдаемые цены европейских опционов.

Идею независимо друг от друга разработали Бруно Дюпир (1994) и Дерман и Кани (1994). Это единственная модель, которая согласуется со всей поверхностью подразумеваемой волатильности без каких-либо дополнительных допущений.

Подразумеваемая и локальная волатильность

Главное: подразумеваемая волатильность представляет собой усреднение локальных волатильностей вдоль траектории до экспирации. Локальная волатильность это мгновенная, «точечная» волатильность.

Подразумеваемая волатильность vs локальная волатильность

Типичная улыбка для рынка акций/криптоактивов. Локальная волатильность выше и острее подразумеваемой.

Локальная волатильность (сплошная линия) всегда острее подразумеваемой (пунктир). Подразумеваемая волатильность — это взвешенное среднее локальных волатильностей вдоль траектории.

Переключайте формы улыбки и обратите внимание:

• Локальная волатильность всегда имеет более острый пик. Поскольку подразумеваемая волатильность усредняется по траектории, она сглаживает экстремумы. Локальная волатильность показывает исходную, неусреднённую картину.
• Чем круче подразумеваемый скью, тем резче локальная волатильность. При крутом скью (кризисный сценарий) локальная волатильность расходится в левом крыле. Модель как бы говорит: «Если спот упадёт так низко, мгновенная волатильность должна быть очень высокой, чтобы соответствовать наблюдаемым ценам пут-опционов».
• Это соотношение аналогично связи спот-ставок и форвардных ставок. Подразумеваемая волатильность соответствует спот-ставке (среднее значение от текущего момента до погашения). Локальная волатильность соответствует форвардной ставке (мгновенная ставка в будущий момент времени).

Смысл локальной волатильности

Представьте, что цена базового актива движется по рельефу волатильностей. В каждой точке пространства (цена, время) задана своя волатильность. Блуждая по этому рельефу, базовый актив проходит через разные мгновенные волатильности.

30-дневный опцион на деньгах (ATM) с подразумеваемой волатильностью 50% может на своём пути проходить через локальные волатильности от 40% до 65%. Подразумеваемая волатильность 50% является риск-нейтральным средним по всем этим локальным волатильностям, взвешенным по времени, проведённому на каждом уровне.

Именно поэтому два опциона с разными страйками могут иметь разную подразумеваемую волатильность, хотя зависят от одного и того же процесса базового актива: они проходят через разные участки рельефа локальной волатильности.

Когда применять локальную волатильность

Оценка экзотических опционов

Основная область применения локальной волатильности. Порядок работы:

1. Получить рыночные цены европейских опционов (или подразумеваемые волатильности)
2. Построить безарбитражную поверхность подразумеваемой волатильности (с помощью SVI, SSVI или аналогичных моделей)
3. Вывести поверхность локальной волатильности по формуле Дюпира
4. Построить численный механизм оценки (конечно-разностное решение PDE или Монте-Карло) на основе поверхности локальной волатильности
5. Оценить экзотический опцион, моделируя движение базового актива по рельефу локальной волатильности

Гарантия: любой экзотический опцион, оценённый по локальной волатильности, согласуется со всеми наблюдаемыми ценами европейских опционов. Цена вашего барьерного опциона не противоречит ванильным опционам, а это важно для хеджирования.

Греки, согласованные с поверхностью

Греки, рассчитанные по модели локальной волатильности, учитывают то, что волатильность меняется вместе с движением спота. Дельта в модели локальной волатильности отличается от дельты Блэка-Шоулза, поскольку модель «знает», что переход на другой уровень спота означает другую локальную волатильность. Концептуально это близко к тому, что Талеб называет «теневой гаммой» (shadow gamma): дополнительное изменение дельты, возникающее из-за того, что волатильность изменилась вслед за движением спота.

Проблема динамики

У локальной волатильности есть одна общеизвестная слабость: она неверно предсказывает динамику улыбки.

В модели локальной волатильности волатильность является детерминированной функцией спота. Зная уровень спота, вы точно знаете волатильность. Никаких «сюрпризов» в волатильности нет. Это означает следующее:

• Когда спот падает, модель локальной волатильности считает, что при этой цене волатильность и должна была быть такой высокой. Улыбка становится более пологой.
• На практике при падении спота волатильность часто растёт сильнее, чем предсказывает локальная волатильность, а улыбка становится круче.

В результате модель локальной волатильности систематически занижает цену опционов, зависящих от будущей формы улыбки (барьерные опционы, опционы с отложенным стартом, клике).

Локальная волатильность в сравнении с другими моделями

	Локальная волатильность	SVI	SABR
Что это	Мгновенная волатильность в каждой точке (S, t)	Параметрическая форма улыбки	Модель стохастической волатильности
Наблюдаема?	Нет (выводится)	Нет (подгоняется)	Нет (подгоняется)
Точная калибровка	Да (по построению)	Приближённая	Приближённая
Динамика улыбки	Неверная (детерминированная)	Не задаётся	Лучше (стохастическая)
Оценка экзотических опционов	Да (основное применение)	Нет	Ограниченно
Скорость	Медленно (PDE/MC)	Быстро	Быстро (формула)
Лучше всего подходит для	Барьерных, азиатских и других экзотических опционов	Оценки ванильных опционов, управления риском	Свопционов, ванильных FX-опционов

Связь с другими моделями

От подразумеваемой волатильности к локальной: формула Дюпира. На вход требуется безарбитражная подразумеваемая поверхность.

От локальной волатильности к подразумеваемой: решить прямое PDE на поверхности локальной волатильности, оценить европейские опционы и обратить цены в подразумеваемые волатильности. По построению это даёт точное совпадение в обе стороны.

SABR и локальная волатильность: параметр $\beta$ в SABR задаёт базовую структуру локальной волатильности (абсолютная волатильность $\sim F^\beta$, а значит, процентная волатильность $\sigma_{\text{loc}} \sim F^{\beta - 1}$), а $\nu$ добавляет поверх неё стохастический слой. SABR можно рассматривать как параметрическую аппроксимацию локальной волатильности с дополнительной динамикой.

SVI и локальная волатильность: SVI даёт подразумеваемую поверхность, а формула Дюпира затем даёт локальную волатильность. Цепочка: рыночные котировки -> подгонка SVI -> подразумеваемая поверхность -> Дюпир -> локальная волатильность -> оценка экзотических опционов.

Математическая интуиция

Изучите локальную волатильность с нуляИнтерактивный урок · разбирает формулу Дюпира

Интерактивный урок выше разбирает модель локальной волатильности Дюпира с нуля: почему подразумеваемая волатильность является взвешенным по траектории средним локальных волатильностей, как формула Дюпира извлекает локальную волатильность из наблюдаемых цен, как связаны улыбка подразумеваемой волатильности и поверхность локальной волатильности и почему локальная волатильность важна для оценки экзотических опционов, зависящих от траектории.

Реализации с открытым исходным кодом

Репозиторий	Чем интересен
QuantLib	Локальная волатильность Дюпира с конечно-разностным механизмом оценки
OpenGamma Strata	Построение поверхности локальной волатильности по рыночным данным
RustQuant	Оценка по локальной волатильности на Rust

---

См. также:

• Параметризация SVI - модель для построения подразумеваемой поверхности
• Модель SABR - альтернатива на основе стохастической волатильности
• Методы интерполяции - сравнение всех методов
• Как строятся поверхности - полный процесс построения