Как строятся поверхности волатильности

Непрерывной поверхности на рынке вы не увидите. Вы видите разрозненные котировки по небольшому набору страйков и экспираций. «Поверхность» получают так: котировки переводят в подразумеваемую волатильность, заполняют пропуски и накладывают правила согласованности, чтобы никто не смог извлечь безрисковую прибыль.

На этой странице разобран весь конвейер: на входе сырые котировки, на выходе гладкая поверхность.

Шаг 1: исходные данные разрежены

Опционный рынок не котирует все возможные страйки и экспирации. По конкретному инструменту котировки обычно есть лишь для 15-20 комбинаций из сотен возможных узлов сетки. Большая часть поверхности пуста.

От котировок к поверхности

Долларовые цены из книги заявок. Большинство ячеек пустые.(67% покрытия, 8 пробелов)

Страйк	7d	14d	30d	60d
$85k	$120	$340	--	--
$90k	$450	$820	$1,400	--
$95k	$1,200	--	$2,800	$4,200
$100kATM	$3,500	$4,800	$6,200	--
$105k	$1,800	$3,100	--	$5,800
$110k	$650	--	$2,100	--

Есть котировка

Нет котировки

Пройдите по трём шагам выше. Обратите внимание: в режиме Raw Quotes большинство ячеек пусты. В режиме Extract IV мы обращаем каждую цену через модель Блэка-Шоулза и получаем подразумеваемую волатильность, но пропуски остаются те же. Только после Interpolate заполняется каждая ячейка, причём ячейки с пометкой «SVI» на рынке не наблюдались.

В этом и состоит главная задача: превратить разреженные, зашумлённые наблюдения в нечто гладкое и внутренне согласованное. Разберём, как устроен каждый шаг.

Шаг 2: переводим цены в IV

Каждую котируемую цену опциона нужно перевести в подразумеваемую волатильность, то есть найти такое $\sigma$, при котором Блэк-Шоулз совпадает с рыночной ценой.

Решения в замкнутой форме нет. Задачу решают численно: берут волатильность, считают цену по BS, сравнивают с рынком и сужают диапазон. Посмотрите, как солвер сходится шаг за шагом:

Поиск корня IV: наблюдайте за сходимостью солвера

Солвер сужает диапазон возможных волатильностей, пока цена BS не совпадёт с рыночной ценой.

Spot Strike DTE Market Price

Шаг	Проба σ	Цена BS	vs Цель	Диапазон
1	150.50%	$11278	> слишком высоко	[1.0%, 300.0%]
2	75.75%	$5825	> слишком высоко	[1.0%, 150.5%]
3	38.38%	$2995	< слишком низко	[1.0%, 75.8%]
4	57.06%	$4421	> слишком высоко	[38.4%, 75.8%]
5	47.72%	$3711	> слишком высоко	[38.4%, 57.1%]
6	43.05%	$3354	< слишком низко	[38.4%, 47.7%]
7	45.38%	$3533	> слишком высоко	[43.0%, 47.7%]
8	44.21%	$3444	< слишком низко	[43.0%, 45.4%]
9	44.80%	$3488	< слишком низко	[44.2%, 45.4%]
10	45.09%	$3511	> слишком высоко	[44.8%, 45.4%]
11	44.94%	$3499	= совпадение	[44.8%, 45.1%]

Решено за 11 шагов: IV = 44.94%

Жёлтая линия — рыночная цена. Каждая проба (точка) вычисляет BS при данной волатильности. Затенённая область показывает, как оставшийся диапазон поиска сужается с каждым шагом.

Меняйте входные данные, чтобы увидеть поведение солвера на разных страйках (OTM против ATM), сроках и ценах. Обратите внимание, что диапазон поиска (затенённая область) на каждом шаге сокращается вдвое. В большинстве продакшен-систем используют метод Брента (гарантированная сходимость) или рациональную аппроксимацию Йекеля (машинная точность за один шаг).

Обратив все котируемые цены, мы получаем разреженную сетку значений IV. Но эти значения не постоянны по страйкам. Прежде чем заполнять пропуски, нужно понять, какие формы естественно принимает кривая IV.

Шаг 3: разбираемся в формах

Если бы мир полностью соответствовал модели Блэка-Шоулза (логнормальная доходность, постоянная волатильность), подразумеваемая волатильность была бы одинаковой на всех страйках. Это не так. Расхождение говорит о реальных свойствах рынка, и понимание этих форм необходимо для выбора правильной интерполяции.

Почему IV зависит от страйка

Волатильность случайна. Модель Блэка-Шоулза считает её постоянной. Когда сама волатильность колеблется, OTM-опционы стоят дороже, чем предсказывает модель. OTM-опцион асимметрично выигрывает от изменений волатильности: если она растёт, опцион приближается к деньгам и быстро дорожает; если падает, опцион и так почти ничего не стоит и теряет немного. Эта выпуклость делает OTM-опционы дороже при неопределённой волатильности, что проявляется в повышенной IV на крыльях. Чем сильнее колеблется волатильность (выше «волатильность волатильности»), тем шире улыбка.

Спот и волатильность движутся вместе. Сама по себе улыбка была бы симметричной. Скью возникает из-за того, что на большинстве рынков при падении цен волатильность растёт. Трейдеры описывают это так: «вверх на эскалаторе, вниз на лифте». OTM-путы (которые платят при обвале) стоят дороже, чем считает Блэк-Шоулз, потому что обвал сопровождается всплеском волатильности, который делает их ещё ценнее. OTM-коллы стоят дешевле, потому что ралли обычно сжимают волатильность. В итоге получается ухмылка путов: левое крыло торгуется с более высокой IV, чем правое. Подробнее о формах улыбки читайте в уроке курса по волатильности об улыбке и ухмылке.

Четыре формы, которые вы встретите

Формы смайла и скью

Левое крыло повышено, правое крыло низкое

Когда наблюдается: Самая распространенная. Страх обвала доминирует. Спрос на хеджирование повышает OTM путы.

25д Риск-реверсал

+14

Баттерфляй

3.0

Переключайте формы. 25-дельта риск-реверсал (внизу слева) измеряет наклон: положительное значение означает, что путы дороже, отрицательное означает, что дороже коллы. Бабочка (внизу справа) измеряет кривизну независимо от направления.

Skew Visualization

25d Risk Reversal: +20.0%

Сила скоса: Пут-скос

Колл-скосПлоскийПут-скос

Перемещайте ползунок, чтобы увидеть, как скос изменяет кривую IV по страйкам. Пут-скос (положительный RR) — нормальное явление; колл-скос встречается редко.

Двигайте ползунок, чтобы увидеть, как сила скью меняет кривую. Риск-реверсал около нуля (плоская кривая) означает, что у рынка нет выраженного направленного перекоса.

Как IV зависит от срока

У поверхности есть второе измерение: временная структура волатильности.

Временная структура

Backwardation: Ближняя IV > дальняя. Сигнализирует о заложенном событийном риске.

Переключайте формы, чтобы увидеть, как меняется временная структура. Бэквордация часто сигнализирует о предстоящем событии.

Форма	Смысл	Когда встречается
Контанго	IV дальних сроков > ближних	Спокойный рынок. Ожидается возврат волатильности к среднему вверх.
Плоская	Близкая IV по всем срокам	Выраженного взгляда на сроки нет.
Бэквордация	IV ближних сроков > дальних	Риск близкого события. Волатильность ближнего месяца разгоняет конкретный фактор.

Ключевой сигнал здесь бэквордация. Когда краткосрочная волатильность поднимается выше долгосрочной, рынок закладывает конкретный близкий катализатор. После события временная структура обычно быстро возвращается в контанго. О том, как вся поверхность смещается в разных рыночных условиях, читайте в разделе режимы волатильности.

Временная структура также содержит форвардную волатильность: ожидание рынка относительно волатильности между двумя будущими датами. Если 30-дневная IV равна 52%, а 90-дневная 48%, подразумеваемая форвардная волатильность с 30-го по 90-й день составляет:

$$\sigma_{30 \to 90} = \sqrt{ \frac{ 0.48^2 \times 90 - 0.52^2 \times 30 }{ 60 } } \approx 45.5\%$$

Это заметно ниже обеих спотовых волатильностей. Рынок говорит: «Ближайшие 30 дней будут бурными, а потом всё успокоится». Попробуйте посчитать форвардную волатильность с другими входными данными в Equation Explorer (вкладка «Forward Vol»). Если форвардная дисперсия становится отрицательной, это сигнал календарного арбитража.

Теперь, понимая, какие формы должна принимать поверхность, мы можем заполнять пропуски осмысленно.

Шаг 4: заполняем пропуски

У нас есть разрозненные наблюдения IV, и мы знаем, какие формы они должны образовывать. Задача: заполнить каждую пустую ячейку, сохранив поверхность гладкой, устойчивой и свободной от арбитража.

Сравнение методов интерполяции

Белые точки - единственные реальные рыночные котировки. Все промежуточные значения оценочные. Нажмите на каждый метод, чтобы увидеть его сильные и слабые стороны.

Белые точки единственные реальные рыночные наблюдения. Всё между ними оценено. Выбирайте методы, чтобы увидеть их сильные и слабые стороны.

Два правила интерполяции

Нассим Талеб формулирует два принципа:

1. Устраняйте изломы. Линейная интерполяция даёт острые углы. Нельзя ожидать, что подразумеваемая волатильность на соседних страйках будет меняться скачкообразно. Сглаживайте углы.

2. Подстраивайтесь под рынок. Если рынок использует определённую конвенцию интерполяции, ваш ценовой движок должен ей соответствовать. Для риск-менеджмента можно использовать любой метод, который вы считаете наиболее точным, но котировки должны совпадать с рыночной конвенцией, иначе вы попадёте под неблагоприятный отбор.

Что может пойти не так

Арбитраж. Если колл на $97k оценён слишком дёшево относительно $95k и $100k, трейдер может купить $97k и продать комбинацию двух других, получив безрисковую прибыль (арбитраж бабочки). Если из поверхности следует, что полная дисперсия убывает со сроком, возникает календарный арбитраж.

Бессмысленные греки. Вогнутые провалы в улыбке дают отрицательную гамму для длинных опционов (что невозможно) или отрицательную локальную дисперсию (что ломает ценообразование экзотики).

Неустойчивое ценообразование. Если сдвиг одной рыночной котировки сильно меняет интерполированные значения далеко от неё, поверхность зашумлена. Хеджирование начинает определяться артефактами модели, а не движением рынка.

Методы вкратце

Метод	Суть	Для чего подходит
Линейная	Прямые отрезки между точками	Только для быстрых оценок
Кубический сплайн	Гладкие полиномиальные кривые	Визуализация (не продакшен)
SVI	5-параметрическая модель на каждую экспирацию	Крипто- и фондовые опционы
ORC Wing	Удобная для трейдера репараметризация SVI	Ручная правка улыбки
SABR	4-параметрическая модель стохастической волатильности	Процентные свопционы
Local Vol	Мгновенная волатильность по формуле Дюпира	Ценообразование экзотических опционов

Большинство деск-волатильностей используют SVI: модель простая (5 параметров), быстрая (калибруется за миллисекунды) и допускает ограничения, исключающие арбитраж. Hypercall берёт поверхность каждого базового актива из настроенного для него источника волатильности. Подробное сравнение всех методов смотрите в разделе Методы интерполяции.

Шаг 5: проверяем согласованность

Независимая калибровка каждой экспирации может дать внутренне несогласованную поверхность. Перед публикацией поверхности должны выполняться три ограничения.

Календарный арбитраж

Полная дисперсия должна расти со сроком на каждом страйке. Иначе можно продать короткий стрэддл и купить более длинный на том же страйке, получив больше премии, чем заплатили. Бесплатные деньги.

$$\sigma(K, T_1)^2 \times T_1 \leq \sigma(K, T_2)^2 \times T_2 \quad \text{для всех } K \text{ при } T_1 < T_2$$

Проверка календарного арбитража

Суммарная дисперсия (σ² × T) должна расти с увеличением срока на каждом страйке.

Суммарная дисперсия растёт со сроком на каждом страйке. Календарного арбитража нет.

Переключайте состояния. Когда суммарная дисперсия 30д опускается ниже 7д, продажа стрэддла 7д и покупка стрэддла 30д дали бы безрисковую прибыль.

Переключайте состояния: Consistent (каждая кривая лежит выше предыдущей), Violation (30-дневная кривая опускается ниже 7-дневной около ATM) и After Fix (параметры скорректированы так, чтобы ограничение выполнялось).

Арбитраж бабочки

Цены коллов должны быть выпуклыми по страйку. Если в улыбке есть вогнутый провал (локальная впадина), бабочка с центром в этой впадине даёт безрисковую прибыль.

Монотонность колл-спредов

Цены коллов должны убывать по страйку, а скорость убывания должна оставаться между 0 и 1. Чем выше страйк, тем выше порог, поэтому колл всегда должен стоить меньше.

Результат: полная поверхность

Пройдя все этапы (обращение цен, понимание форм, заполнение пропусков, обеспечение согласованности), мы получаем гладкую непрерывную поверхность волатильности:

Поверхность волатильности

Спокойные рынки. Слабый пут-скью, легкое контанго.

Экспирация:

Страйк	7d	14d	30d	60d	90d
$80k	51%	52%	53%	55%	57%
$85k	50%	51%	52%	54%	56%
$90k	50%	50%	51%	54%	56%
$95k	49%	49%	51%	53%	55%
$100k(ATM)	48%	49%	50%	52%	55%
$105k	48%	49%	50%	53%	55%
$110k	49%	49%	50%	53%	55%
$115k	49%	49%	51%	53%	55%
$120k	49%	50%	51%	53%	55%

<45%

45-55%

55-65%

65-80%

80-100%

>100%

Нажмите на заголовки экспирации для среза скью. Нажмите на страйк для временной структуры.

В 3D-режиме перетаскивайте для вращения и прокручивайте для масштабирования. Переключайте сценарии, чтобы увидеть, как разные рыночные условия меняют поверхность. В 2D-режиме нажмите на заголовок экспирации, чтобы выделить срез скью, или на страйк, чтобы увидеть его временную структуру.

Четыре сценария показывают, насколько сильно меняется поверхность:

• Normal: умеренный скью в сторону путов, лёгкое контанго. Базовое состояние.
• Pre-Event: ближняя волатильность резко растёт. Поднимаются оба крыла, потому что направление неясно.
• Crisis: повышено всё. Экстремальный скью в сторону путов. Крутая бэквордация.
• Euphoria: появляется скью в сторону коллов. На OTM-коллы появляется спрос. Встречается редко.

Как движется поверхность

Поверхность не статична. Она постоянно меняет форму, и для хеджирования важно понимать, как именно она движется.

Параллельный сдвиг: вся поверхность поднимается или опускается. ATM-волатильность растёт на 3 пункта, и примерно каждая ячейка сдвигается на сопоставимую величину. Это крупнейший источник P&L для позиций с вега-экспозицией.

Поворот: ближние сроки движутся в одну сторону, дальние в другую. Именно поэтому нельзя просто сложить веги месячного и годового опциона. Позиция с вегой $100k в 7-дневных опционах подвержена риску гораздо сильнее, чем $100k веги в 6-месячных, потому что краткосрочная волатильность реагирует резче.

Изменение формы: улыбка становится круче, крылья расширяются или скью наклоняется сильнее. Позиция, нейтральная по уровню и наклону, всё равно может потерять на изменении формы.

Локальная деформация: отдельный страйк или узкая область движется независимо. Так бывает вокруг страйков с крупным открытым интересом (пин-риск), барьерных уровней или при необычном потоке в конкретной экспирации.

Поверхность в разных рыночных режимах

Спокойные условия, без крупных событий. Умеренный пут-скью, легкое контанго.

Страйк	7 DTE	30 DTE	90 DTE
85k (OTM Put)	58%	55%	52%
90k	54%	52%	50%
95k	51%	50%	48%
100k (ATM)	48%	48%	47%
105k	46%	47%	46%
110k	45%	46%	46%
115k (OTM Call)	44%	45%	45%

На что обратить внимание:

• Умеренный пут-скью (~14 пунктов вол. от пута до колла)
• Легкое контанго (дальний срок чуть ниже)
• ATM вол. около 48% - типично для спокойного BTC

Обратите внимание на закономерность: в кризис IV поверхности в 2-3 раза выше, чем на спокойном рынке. Обычно в скью доминируют путы, но эйфория может его перевернуть. Спокойные рынки дают контанго, события дают бэквордацию. Перед событиями у поверхности толстые крылья с обеих сторон, потому что направление неясно.

Постройте свою поверхность

Меняйте значения IV, проверяйте наличие арбитража и смотрите результат в реальном времени.

Построй свой скью

Спокойный рынок, умеренное скью пут-опционов

ATM Вол: 50%

25Δ Риск-реверсал: +4.0%

25Δ Баттерфляй: +5.3%

Strike	Delta	IV(click to edit)
$80k	10Δ Put	67%
$85k	15Δ Put	62%
$90k	25Δ Put	57%
$95k	40Δ Put	53%
$100k	ATM	50%
$105k	40Δ Call	51%
$110k	25Δ Call	53%
$115k	15Δ Call	56%
$120k	10Δ Call	59%

ATM Vol: 50%

Put Skew: +12 vol pts

Call Skew: +4 vol pts

Smile Width: 5

Click IV values in the table to edit directly. Invalid configurations will show arbitrage warnings.

Equation Explorer

Подставляйте значения и считайте ключевые величины, которые используются на этой странице: полную дисперсию, форвардную волатильность, логарифмическую монейность и цену по BS.

Исследователь формул

Спот (S)

$

Страйк (K)

$

Дней до экспирации

дн.

Безрисковая ставка

%

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Цена колла

$8300

Цена пута

$7890

Δ колла

0.555

d₁

0.102

Вега

$114

Практические советы

Несколько вещей, о которых стоит помнить при работе с поверхностями волатильности:

Поверхность это модель, а не реальность. Лишь небольшая часть узлов сетки основана на реальных сделках. Торгуя неликвидный страйк, смотрите на спред бид-аск. Широкий спред означает выход модели. Узкий спред означает реальную ликвидность.

Котировки на крыльях ненадёжны. Уровни волатильности глубоко OTM сильно зависят от модели калибровки. Две площадки с разными методами покажут разную IV на крыльях для одного и того же базового актива. Самые надёжные греки у ATM-опционов.

Не сравнивайте веги разных сроков. Позиция с вегой $100k в 7-дневных опционах намного чувствительнее, чем $100k веги в 6-месячных. Взвешивайте веги (квадратный корень из времени для начала, эмпирические коэффициенты лучше), прежде чем их неттировать.

Гистограмма врёт о скью. Скью нельзя вывести из гистограммы прошлых доходностей. Гистограмма скрывает траекторию: то, что волатильность растёт на распродажах и сжимается на ралли. Скью отражает совместное движение спота и волатильности вдоль траектории, а не форму итогового распределения.

Блэк-Шоулз неверен, но полезен. Трейдеры предпочли искривить параметр волатильности неверной модели (так и появилась поверхность), а не переходить на «правильную» модель с бо́льшим числом параметров. Каждый дополнительный параметр нужно оценивать, а ошибки оценки накапливаются. Поверхность это прагматичный ответ рынка.

---

Подробно о моделях: SVI | ORC Wing | SABR | Локальная волатильность | Сравнение всех методов

См. также: Поверхность волатильности | Подразумеваемая волатильность | Скью | Временная структура