Модель скачкообразной диффузии Мертона

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что цена движется плавно: без гэпов и внезапных обвалов. Мертон (1976) добавляет скачки. Цена может мгновенно переместиться вверх или вниз, а не только диффундировать. Рынок открывается с гэпом. Стейблкоин теряет привязку за один блок.

Отсюда напрямую следуют толстые хвосты и крутые улыбки на коротких сроках. Чем выше риск скачков, тем круче крылья поверхности волатильности.

💡

Почему скачки важны для опционов

Пут-опцион вне денег (OTM) с экспирацией через 2 дня по Блэку-Шоулзу почти ничего не стоит: за такое время диффузия не успевает довести цену до страйка. Но если рынок может скакнуть на 15% за ночь, у этого пута есть реальная стоимость. Модели со скачками это учитывают. Именно поэтому улыбки на коротких сроках такие крутые.

Исследуйте параметры

Начните с режима "No jumps", чтобы увидеть плоскую улыбку Блэка-Шоулза. Затем переключитесь на "Crash risk" и посмотрите, как становится круче крыло путов.

Исследователь улыбки модели Merton (скачкообразная диффузия)

Один ожидаемый обвал в год, в среднем -15%. Крутой пут-скью из-за риска скачков вниз.

Интенсивность скачков1.00

Ожидаемое число скачков в год. 0 = Black-Scholes.

Средний размер скачка-0.15

Отрицательное = уклон в сторону обвала. -0.10 означает скачок в среднем на -10%.

Волатильность скачков0.20

Насколько изменчив каждый скачок. Выше = круче крылья.

Базовая волатильность0.20

Диффузионная волатильность (между скачками).

Начните с «Без скачков», чтобы увидеть плоский Black-Scholes, затем переключитесь на «Риск обвала», чтобы увидеть, как скачки формируют скью.

За что отвечает каждый параметр

• Лямбда (интенсивность скачков): сколько скачков в год вы ожидаете. Ноль соответствует Блэку-Шоулзу. Единица означает примерно одно событие масштаба обвала в год. В крипте этот показатель может составлять 2-3.
• Средний размер скачка: среднее направление скачка. Отрицательное значение означает, что обвалы случаются чаще, чем резкие взлёты. Именно это создаёт скью путов.
• Волатильность скачков: насколько разнятся отдельные скачки. Даже при нулевом среднем скачке высокая волатильность скачков даёт толстые хвосты (поднимаются оба крыла).
• Базовая волатильность (сигма): обычная диффузионная волатильность между скачками. Она задаёт общий уровень улыбки.

Как скачки формируют улыбку

Изменение параметра

Влияние на улыбку

Интуиция

Рост лямбды

Поднимаются оба крыла

Больше скачков, больше хвостового риска, OTM-опционы дороже

Более отрицательный средний скачок

Крыло путов становится круче

Обвалы вероятнее взлётов, поэтому путы дорожают

Рост волатильности скачков

Крылья становятся круче

Каждый скачок менее предсказуем, поэтому экстремальные движения вероятнее

Рост базовой волатильности

Вся улыбка сдвигается вверх

Более высокая диффузионная волатильность поднимает цены всех опционов

Улыбка от скачков и улыбка от стохастической волатильности

Модель Мертона и модель Хестона (стохастическая волатильность) обе дают улыбку, но разными способами. Для торговли эта разница существенна.

Мертон (скачки)

Хестон (стох. волатильность)

Что создаёт улыбку?

Внезапные ценовые гэпы

Случайная волатильность

Короткие сроки

Крутая улыбка (доминирует риск скачков)

Слабая улыбка (волатильность не успевает сдвинуться)

Длинные сроки

Улыбка уплощается (скачки усредняются)

Улыбка сохраняется (случайность волатильности накапливается)

Форма хвостов

Толстые хвосты от дискретных скачков

Толстые хвосты от кластеризации волатильности

Лучше всего подходит для

Краткосрочных опционов, событийного риска

Долгосрочных опционов, торговли волатильностью

ℹ️

Короткие сроки против длинных

Модель Мертона полезнее всего для краткосрочных опционов, где доминирует риск скачков. На длинных сроках вступает в силу центральная предельная теорема: множество мелких скачков выглядит как диффузия, и улыбка, создаваемая одними скачками, затухает. На длинном конце временной структуры главную роль берёт на себя стохастическая волатильность.

Модель Мертона в крипте

Пожалуй, именно в крипте модель Мертона важнее всего. Рынки работают круглосуточно, но провалы ликвидности здесь обычное дело: сбои бирж, отказы оракулов, внезапные каскады ликвидаций. Всё это скачки. Уровень на деньгах (ATM) может почти не меняться, но крылья становятся заметно круче.

Событие в крипте

Характер скачка

Влияние на улыбку

Флэш-крэш / каскад ликвидаций

Крупный отрицательный скачок

Крутой скью путов, особенно на коротких сроках

Потеря привязки стейблкоина

Отрицательный скачок с высокой волатильностью

Экстремальное крыло путов, приподнятое крыло коллов

Позитивный катализатор (одобрение ETF и т. п.)

Положительный скачок

Крыло коллов поднимается, временный разворот скью

Сбой биржи на волатильном рынке

Гэп в любую сторону

Оба крыла приподняты (чистый эксцесс)

💡

Простейшая модель, учитывающая риск гэпов

Модель Мертона объясняет, почему краткосрочные OTM-опционы стоят дороже, чем предсказывает Блэк-Шоулз. Если вы торгуете недельными или другими краткосрочными криптоопционами, по сути вы оцениваете именно риск скачков. Дельта-хеджирование в модели Мертона отличается от Блэка-Шоулза: скачковую компоненту захеджировать нельзя, реплицировать можно только диффузионную часть. Экспозиция по веге структурно выше.

Обозреватель уравнений

Пересчёт между подразумеваемой волатильностью, полной дисперсией, логарифмической монейностью и ценами опционов.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Почему Блэк-Шоулз недооценивает краткосрочные OTM-опционы?

Q: Что происходит с улыбкой Мертона при увеличении срока до экспирации?

Q: Как выглядит улыбка, если средний размер скачка равен нулю, а волатильность скачков высокая?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Математическая интуиция

Изучить скачки Мертона с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

Урок начинается с простого вопроса: а что, если цена может мгновенно перескочить? Затем шаг за шагом выстраивается полная интуиция об интенсивности скачков, их размере и о том, почему крылья на коротких сроках дорожают.

---

См. также:

• Блэк-Шоулз: базовая модель без скачков
• Модель Хестона: стохастическая волатильность (другой способ получить улыбку)
• Variance Gamma: чисто скачковая модель вообще без диффузии
• Скью: почему улыбка наклонена