Волатильность, зависящая от траектории (PDV)

Все модели на этом сайте исходят из того, что волатильность зависит от того, где цена находится сейчас: от текущего уровня и, возможно, от текущего состояния волатильности. Модель Path-Dependent Volatility (Guyon & Lekeufack, 2023) утверждает, что этого недостаточно. Волатильность зависит и от того, где цена побывала. Монета, которая упала на 10% и вернулась к $100, торгуется иначе, чем монета, всё это время стоявшая на$100. У монеты, пережившей обвал и восстановление, выше подразумеваемая волатильность, круче скью и шире крылья, потому что рынок помнит обвал.

💡

У рынка есть память

Если BTC только что просел на 15%, волатильность остаётся повышенной даже после восстановления цены. PDV делает волатильность функцией двух величин: недавней реализованной волатильности и недавнего ценового тренда. В этом вся модель. Поверхность волатильности смещается в ответ на траекторию цены, а не только на её текущий уровень.

Посмотрите в действии

Переключайтесь между траекторией с обвалом и восстановлением и ровной траекторией. Обе заканчиваются на одной и той же цене, но дают разные улыбки волатильности. Двигайте ползунок памяти, чтобы увидеть, как окно ретроспективы меняет эффект.

Волатильность, зависящая от траектории

Цена упала на 10% и отскочила. Память траектории удерживает волатильность повышенной даже после восстановления цены.

Недавняя траектория цены

Итоговая улыбка волатильности

Память траектории (ретроспективное окно)30 дн.

1 день (короткая память)90 дней (длинная память)

Переключайтесь между сценариями, чтобы увидеть, как одна и та же текущая цена даёт разные улыбки в зависимости от недавней траектории. Перетащите ползунок памяти, чтобы увидеть, как ретроспективное окно меняет эффект.

Как это работает

1. Два входа из ценовой траектории

PDV сводит недавнюю историю цены к двум показателям:

Вход

Что отражает

Интуиция трейдера

Недавняя реализованная волатильность

Насколько сильно двигалась цена в пределах окна ретроспективы.

Вы и так смотрите на это в любом дашборде волатильности. Высокая недавняя RV означает повышенную IV.

Недавний тренд

Чистое изменение цены за окно ретроспективы (вверх или вниз).

Сильное снижение делает скью круче. Ралли его выравнивает. Вы видите это каждый день.

2. Волатильность как функция этих двух входов

Модель утверждает: подразумеваемая волатильность на любом страйке есть функция текущего спота и этих двух сводных характеристик траектории. Никакой стохастической переменной состояния волатильности, никакого дробного исчисления, никакой скрытой марковской цепи. Только три вопроса: где цена, насколько сильно она двигалась и в каком направлении?

3. Поведение грубой волатильности без грубых моделей

Такая конструкция воспроизводит несколько «трудных» явлений:

• Кластеризация волатильности. Высокая волатильность порождает высокую волатильность, потому что недавняя реализованная волатильность остаётся повышенной.
• Эффект кредитного плеча. Снижения повышают волатильность сильнее, чем рост, поскольку вход тренда делает функцию асимметричной. В результате возникает скью, меняющийся вместе с недавней доходностью.
• Масштабирование, как у грубой волатильности. Видимая «грубость» траекторий волатильности естественно возникает из зависимости от траектории, без дробного броуновского движения.
• Совместная калибровка SPX/VIX. Модель одновременно калибруется к опционам на индекс и к опционам на VIX, с чем большинство моделей не справляется.

ℹ️

Почему это важно для крипто

На криптовалютном рынке зависимость от траектории выражена предельно сильно. После каскада ликвидаций волатильность держится повышенной днями, даже если цена восстановилась. После долгого плавного роста волатильность сжимается. PDV отражает это напрямую. Традиционные модели воспринимают любые 60k по BTC одинаково, а PDV отличает «60k после обвала с 70k» от «60k после ралли с 50k». Это различие важно для ценообразования и дельта-хеджирования.

PDV в сравнении с другими моделями

Характеристика

Heston / SABR

Rough Bergomi

PDV

От чего зависит волатильность

Только от текущего состояния

Вся история волатильности (дробная)

Недавняя RV + тренд

Память о траектории

Нет (марковская)

Бесконечная (степенной закон)

Конечная (окно ретроспективы)

Сложность

Низкая

Высокая (немарковская)

Низкая

Совместная подгонка SPX/VIX

Плохая

Средняя

Хорошая

Кластеризация волатильности

Частичная

Да

Да

Скорость симуляции

Высокая

Низкая

Высокая (марковская)

Зрелость

Десятилетия

~10 лет

Новая (2023)

Сильные стороны и ограничения

Сильная сторона

Что это значит для вас

Интуитивные входы

Недавнюю реализованную волатильность и тренд отслеживает любой трейдер. Никаких абстрактных переменных состояния.

Марковская (быстрая симуляция)

Несмотря на учёт эффектов траектории, модель марковская по (S, реализованная волатильность, тренд). Монте-Карло работает со стандартной скоростью.

Грубая волатильность без сложной математики

Воспроизводит свойства масштабирования моделей грубой волатильности без дробного исчисления и немарковской симуляции.

Совместная калибровка

Калибруется одновременно к ванильным опционам и к продуктам на волатильность волатильности (опционы на VIX, свопы на волатильность).

Ограничение

Что это значит для вас

Выбор окна ретроспективы

Параметр памяти важен, его нужно выбрать или откалибровать. Разные окна дают разные поверхности.

Нет ценообразования в замкнутой форме

Цены опционов требуют симуляции Монте-Карло. Медленнее, чем аппроксимации в замкнутой форме для Heston или SABR.

Новая (2023)

Опыт применения в продакшене ограничен. Пограничные случаи и сценарии отказа описаны не полностью.

Нужна ценовая история

Невозможно оценить опционы на совершенно новый токен без истории торгов. Нужно достаточно данных для расчёта реализованной волатильности и тренда.

💡

Простейшая модель волатильности, зависящей от траектории

PDV использует недавнюю реализованную волатильность и недавний тренд, чтобы объяснить динамику улыбки, которую упускают стохастические модели волатильности. Воспроизводит грубую волатильность, кластеризацию волатильности и эффект кредитного плеча без экзотической математики. Вега в PDV отличается от веги в модели Блэка-Шоулза, поскольку состояние траектории меняет форму улыбки. Цена за это: модель новая, требует Монте-Карло и зависит от выбора окна ретроспективы.

Исследователь уравнений

Пересчитывайте подразумеваемую волатильность, полную дисперсию, логарифмическую монейность и цены опционов друг в друга.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: BTC стоит $65k. Он пришёл сюда, обвалившись с $72k и затем восстановившись. Чем, согласно PDV, поверхность волатильности отличается от сценария, в котором BTC медленно поднялся с $60k?

Q: Почему PDV воспроизводит поведение, похожее на грубую волатильность, без дробного броуновского движения?

Q: Вы выбираете окно ретроспективы для PDV на опционах ETH. Каковы компромиссы между 7 и 60 днями?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

---

См. также:

• Модель SABR: классическая стохастическая волатильность без зависимости от траектории
• Rough Bergomi: модель дробной волатильности, которую PDV может аппроксимировать
• Модель Хестона: стохастическая волатильность с возвратом к среднему (марковская, без памяти о траектории)
• Neural SDE / Deep Hedging: ещё один подход к моделированию волатильности на основе данных
• Режимы волатильности: режимы, которые PDV улавливает естественным образом