Модель квинтического полинома

SVI -- отраслевой стандарт для калибровки улыбки волатильности: 5 параметров, по одному срезу за раз. Но в SVI заложено конкретное допущение о форме: улыбка всегда представляет собой смещённую и масштабированную гиперболу. Когда рынок выдаёт то, что SVI воспроизвести не может, качество подгонки падает. Модель квинтического полинома (Gauthier & Possamai, 2023) полностью отказывается от этого допущения. Она аппроксимирует полную подразумеваемую дисперсию полиномом от лог-монейности: полиномом 4-й или 5-й степени с 5 или 6 коэффициентами. Модель подстраивается под любую форму улыбки, которую выдаёт рынок, включая те, которые SVI структурно упускает.

💡

SVI без ограничения на форму

Столько же параметров, сколько у SVI. Та же калибровка по одному срезу. Но там, где SVI навязывает гиперболическую форму, полином позволяет решать данным. Цена компромисса: вы теряете встроенное в SVI поведение крыльев, и для отсутствия арбитража нужны явные ограничения. Скью и кривизна настраиваются независимо.

Посмотрите в действии

Двигайте ползунки, чтобы увидеть, как каждый коэффициент меняет форму улыбки. Попробуйте пресет «Двойной горб»: SVI такую форму построить не может.

Исследователь улыбки: полином пятой степени

Параболическая форма, типичная для SVI. Симметричные крылья с умеренным скью.

Уровень ATM0.045

Задаёт общий уровень волатильности

Скью-0.015

Наклоняет улыбку влево (скью путов) или вправо

Кривизна0.080

Насколько широко раскрывается улыбка

Асимметрия-0.010

Делает одно крыло круче другого

Крутизна крыльев0.020

Определяет, как быстро растут крылья. Высокие значения = крутые хвосты.

Попробуйте «Двойной горб» и включите «Показать эталон SVI», чтобы увидеть форму, которую полином построить может, а SVI — структурно нет.

Как это работает

1. Полная дисперсия как полином

Для заданной экспирации $T$ полная подразумеваемая дисперсия $w(k) = \sigma^2(k) \cdot T$ моделируется как полином от лог-монейности $k = \log(K/F)$:

$$w(k) = c_0 + c_1 k + c_2 k^2 + c_3 k^3 + c_4 k^4$$

У каждого коэффициента есть прямая трейдерская интерпретация:

Коэффициент

Трейдерское название

За что отвечает

c0

Уровень ATM

Общий уровень волатильности. Чем выше c0, тем выше подразумеваемая волатильность ATM.

c1

Скью

Наклоняет улыбку. Отрицательное значение = пут-скью (левое крыло выше).

c2

Кривизна

Насколько широко раскрыта улыбка. Определяет дороговизну бабочек.

c3

Асимметрия

Делает одно крыло круче другого. Эффект нечётной степени.

c4

Крутизна крыльев

Определяет, как быстро растут крылья на крайних страйках.

2. Условия отсутствия арбитража сводятся к простым границам

Чтобы полином был свободен от арбитража (положительная дисперсия, выпуклые цены коллов), условия сводятся к неравенствам на коэффициенты. Сложные численные проверки не нужны: достаточно ограничить коэффициенты при калибровке.

3. Калибровка быстрая

Подгонка полинома к рыночным данным -- это задача наименьших квадратов, которая решается за микросекунды. Вес смещён в сторону страйков ATM, где ликвидность максимальна. Добавьте границы на коэффициенты как линейные ограничения, и получится небольшая задача квадратичного программирования (QP): быстрее и устойчивее, чем нелинейная оптимизация в SVI.

ℹ️

Полиномы высоких степеней осциллируют на крыльях

Полиномы 6-й или 7-й степени осциллируют на крыльях (феномен Рунге). Степени 4-5 достаточно, чтобы передать реальные формы улыбки, не создавая артефактов за последним ликвидным страйком. Для поведения глубоко вне денег (OTM) на крыльях нужны явные правила экстраполяции.

Квинтический полином и SVI

Характеристика

SVI

Квинтический полином

Параметров на срез

5

5 (4-я степень) или 6 (5-я степень)

Допущение о форме

Гипербола (заложена в модель)

Нет

Качество подгонки

Хорошее для типичных улыбок

Подходит под любую форму

Экстраполяция крыльев

Линейная (ограниченная)

Полиномиальная (расходится)

Условия отсутствия арбитража

Сложные нелинейные

Простые границы на коэффициенты

Метод калибровки

Нелинейная оптимизация

Наименьшие квадраты / QP

Распространённость в индустрии

Десятилетия применения

Новая (2023)

Версия для поверхности по аналогии с SSVI

Есть (SSVI)

На стадии исследований

Применимость к криптовалютам

Улыбки на крипторынке часто асимметричны так, что SVI с ними справляется плохо: резкий пут-скью из-за каскадов ликвидаций, необычные горбы на стороне коллов из-за опциональности аирдропов или «изломанные» улыбки вокруг популярных страйков с концентрированным открытым интересом. Полиномиальная модель подстраивается под такие формы, не навязывая гиперболическую структуру. Дельта и вега, рассчитанные по полиномиальной улыбке, гладкие по построению. Главное ограничение: страйки криптоопционов разрежены, и без аккуратных ограничений полином может вести себя непредсказуемо между точками данных.

💡

Простота SVI без привязки к форме

Подстраивается под улыбки, которые SVI структурно воспроизвести не может. Цена: вы теряете устойчивую экстраполяцию крыльев SVI и должны явно обрабатывать условия отсутствия арбитража. Для поверхностей с несколькими экспирациями нужны отдельные ограничения на временную структуру. Лучше всего подходит для рынков с необычной улыбкой или когда остатки подгонки SVI слишком велики.

Калькулятор формул

Переводите значения между подразумеваемой волатильностью, полной дисперсией, лог-монейностью и ценами опционов.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Почему квинтический полином может описать формы улыбки, недоступные SVI?

Q: В чём главный недостаток полинома при экстраполяции крыльев?

Q: Вы калибруете экспирацию через 3 дня на криптоактиве, где всего 6 ликвидных страйков. Что вы предпочтёте: SVI или полином?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Математическая интуиция

Изучить квинтическую модель с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

В этом уроке разбирается, почему полиномиальная подгонка даёт дополнительную гибкость улыбки, как устроен полином полной дисперсии и почему более строгие проверки на арбитраж становятся важны, как только форме дают больше свободы.

---

См. также:

• Параметризация SVI -- отраслевой стандарт параметрической модели, которую расширяет этот подход
• SSVI (Surface SVI) -- согласованное по календарю расширение SVI на всю поверхность
• SANOS (непараметрические поверхности) -- полностью непараметрический подход с калибровкой через LP
• Neural SDE / Deep Hedging -- подход на основе данных, который обучает динамику сквозным образом
• Методы интерполяции -- сравнение всех методов