Модель SABR

к сведению

На этой странице модель SABR разобрана подробно. О том, какое место она занимает в конвейере построения поверхности волатильности, читайте в разделе Как строятся поверхности. Сравнение с другими методами приведено в разделе Методы интерполяции.

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho) — модель стохастической волатильности, предложенная Хаганом, Кумаром, Лесневски и Вудвордом (2002). В отличие от SVI, которая описывает форму улыбки, SABR описывает динамику, которая эту улыбку порождает. Улыбка получается в модели как следствие того, как волатильность меняется вместе с базовым активом.

SABR является основной моделью для процентных свопционов, кэпов и флоров. В крипте она встречается реже: там предпочитают SVI за более простую подгонку и лучшее поведение на крыльях.

Исследуйте параметры

Меняйте каждый параметр и смотрите, как меняется улыбка SABR. Включите «Show backbone», чтобы увидеть кривую чистой CEV (так выглядит улыбка без волатильности волатильности).

Исследователь улыбки SABR

Типичная улыбка свопционов на процентные ставки. Умеренный скью, слабая кривизна.

α (уровень вол.)0.30

Текущая мгновенная волатильность

β (бэкбон)0.50

0 = нормальная, 0.5 = корень, 1 = лог-нормальная

ρ (корреляция спот-вол)-0.30

Отрицательная = пут-скью (обычно)

ν (вол-оф-вол)0.40

Задаёт ширину улыбки. 0 = без улыбки.

Включите «Показать бэкбон», чтобы увидеть кривую только CEV (без вол-оф-вол). Разрыв между бэкбоном и полной улыбкой — это вклад ν.

За что отвечает каждый параметр

• $\alpha$ (уровень волатильности): текущая мгновенная волатильность. Чем выше $\alpha$, тем выше общий уровень IV. Это параметр, который перекалибруют чаще всего.
• $\beta$ (базовая кривая, backbone): определяет, как волатильность масштабируется с ценой базового актива. При $\beta = 1$ постоянна процентная волатильность (логнормальная модель). При $\beta = 0$ постоянна долларовая волатильность (нормальная модель). $\beta = 0.5$ даёт промежуточный вариант (корневая модель). На практике $\beta$ обычно фиксируют по рыночной конвенции, а не подгоняют.
• $\rho$ (корреляция спот-волатильность): управляет скью. Отрицательная $\rho$ означает, что волатильность растёт при падении базового актива (типичное поведение для акций и крипты). Положительная $\rho$ означает обратное (встречается редко).
• $\nu$ (волатильность волатильности): управляет шириной улыбки. При $\nu = 0$ улыбки нет, остаётся только скью, который дают $\beta$ и $\rho$ (базовая кривая). С ростом $\nu$ оба крыла поднимаются.

Базовая кривая

Нажмите «Show backbone» в обозревателе выше. Пунктирная линия показывает улыбку при $\nu = 0$: волатильность не случайна, остаётся детерминированная модель CEV. Разрыв между базовой кривой и полной улыбкой и есть вклад $\nu$ (волатильности волатильности). Такое разложение есть только у SABR, и оно даёт трейдерам ясное понимание того, откуда берётся кривизна улыбки.

Калибровка

Стандартный подход

1. Зафиксируйте $\beta$ по рыночной конвенции:

   • Процентные ставки: $\beta = 0.5$ (распространённый вариант) или $\beta = 0$ (нормальная SABR)
   • Акции: $\beta = 1$ (логнормальная модель)
   • При фиксированной $\beta$ у модели остаётся 3 свободных параметра.

2. Привяжите $\alpha$ к волатильности ATM. Между $\alpha$ и подразумеваемой волатильностью ATM существует почти замкнутая зависимость. По наблюдаемой IV на деньгах (ATM) решите уравнение относительно $\alpha$. Так подгонка сводится к 2 свободным параметрам.

3. Подгоните $\rho$ и $\nu$, минимизируя взвешенную ошибку между улыбкой SABR и наблюдаемыми IV по страйкам. С двумя параметрами это быстро и устойчиво.

Веса

• Наибольший вес получает ATM (самая ликвидная и надёжная зона)
• Опционы с узким спредом бид/аск получают больший вес
• Глубоко вне денег (OTM) опционы получают меньший вес (там аппроксимация Хагана менее точна)

Сильные стороны

Динамическая интерпретация. SABR показывает, как должна двигаться улыбка при движении базового актива. По умолчанию SABR даёт поведение, близкое к sticky-delta: при падении спота волатильность растёт (если $\rho < 0$), а улыбка сдвигается вслед за спотом. Это ценно для продуктов, где динамика улыбки важна для хеджирования.

Разложение на базовую кривую и улыбку. Разделение базовой кривой (скью от $\beta$) и улыбки (кривизна от $\nu$) даёт трейдерам понятную ментальную модель.

Экономность. При фиксированной $\beta$ и привязанной к ATM $\alpha$ подгоняются всего 2 параметра. Это быстро и почти не оставляет места для переобучения.

Ограничения

Проблемы на крыльях. Аппроксимация Хагана может давать отрицательную подразумеваемую волатильность или отрицательную плотность вероятности на дальних крыльях. Это известная проблема. В продакшене используют исправленные формулировки (безарбитражная SABR или численное решение PDE для экстремальных страйков).

Длинные сроки. Асимптотическое разложение теряет точность на сроках свыше 10–15 лет. Там лучше применять численный метод.

Статическая подгонка вместо динамической калибровки. Несмотря на динамическую интерпретацию SABR, на практике каждую экспирацию подгоняют независимо (точно так же, как в SVI). Динамическая картина остаётся скорее идеалом, чем реально соблюдаемым на практике свойством.

SABR и SVI

	SABR	SVI
Что моделирует	Динамику, порождающую улыбку	Форму улыбки
Параметры	3 (при фиксированной $\beta$)	5
Арбитраж	Формула Хагана может нарушать безарбитражность на крыльях	Есть чёткие ограничения
Поведение на крыльях	Может ломаться на экстремальных страйках	Ограниченное, линейные асимптоты
Скорость	Вычисление по формуле	Оптимизация
Лучше всего подходит для	Процентных ставок, FX	Акций, крипты

Ключевое различие: SABR отвечает на вопрос «как улыбка движется?», а SVI на вопрос «как улыбка выглядит?». Для простого ценообразования и риск-менеджмента европейских опционов обычно выигрывает SVI благодаря более простой подгонке и лучшему поведению на крыльях. Для продуктов, где важна динамика улыбки (бермудские свопционы, барьерные опционы при sticky-delta), динамическая интерпретация SABR оказывается ценной.

Связь с SVI

SABR можно использовать для инициализации подгонки SVI. Сначала подгоните SABR (быстрая оптимизация по 2 параметрам), рассчитайте улыбку SABR на множестве страйков, затем подгоните SVI к этим точкам. Так SVI получает хорошую стартовую точку, когда рыночных данных мало.

Математическая интуиция

Изучите SABR с нуляИнтерактивный урок · 4 параметра, 5 разделов

Интерактивный урок выше по очереди разбирает четыре параметра SABR: как alpha задаёт уровень волатильности, как rho наклоняет скью, как nu поднимает крылья и как beta управляет динамикой базовой кривой. В каждом разделе есть отдельный слайдер, чтобы вы могли изолировать влияние одного параметра.

Реализации с открытым исходным кодом

Репозиторий	Чем интересен
QuantLib	Аппроксимация Хагана для SABR и калибровка
pysabr	Реализация SABR на чистом Python, легко читается
OpenGamma Strata	SABR с интерполяцией улыбки в боевом риск-менеджменте

---

См. также:

• Параметризация SVI - Улыбка по каждой экспирации, которую Hypercall подгоняет для поверхностей опционов на акции
• Локальная волатильность - Поверхность мгновенной волатильности Дюпира
• Методы интерполяции - Сравнение всех методов
• Как строятся поверхности - Полный конвейер