Простые и базовые модели
Фундамент. Black-Scholes: постоянная волатильность, без улыбки. CEV добавляет один параметр и получает скью. Displaced Diffusion сдвигает ценовую ось, чтобы работать с отрицательными ставками. Для калибровки улыбки в продакшене они слишком просты, но любая сложная модель развивает одну из них.
Любая сложная модель развивает простую
SABR опирается на CEV (это её основа). Heston содержит Black-Scholes как частный случай. Начните отсюда.
Обзор
Что их объединяет
Все четыре модели описывают единственный диффузионный процесс для цены базового актива. Ни в одной нет стохастической волатильности, скачков или второго источника случайности. Различаются они только предположениями о динамике цены.
Как они связаны между собой
Black-Scholes служит отправной точкой: постоянная волатильность, логнормальная цена, улыбки нет. CEV обобщает её, делая волатильность зависимой от уровня цены (sigma, умноженная на S в степени beta минус один), и за счёт этого появляется скью. На этом построена SABR: локальная компонента волатильности в ней задаётся именно через CEV. Displaced Diffusion идёт другим путём: она сдвигает ценовую ось (моделируется S + d вместо S), что тоже даёт скью и позволяет работать с отрицательными ставками или ценами. При малых сдвигах её поведение близко к CEV. Bachelier представляет собой аддитивную версию Black-Scholes: цены подчиняются нормальному распределению вместо логнормального. Модель даёт плоскую улыбку (в терминах нормальной волатильности) и естественным образом допускает отрицательные цены, поэтому она стала стандартом для опционов на процентные ставки, когда ставки ушли в минус.
Модели в этом разделе:
- Black-Scholes - Фундамент
- Модель CEV - Волатильность зависит от цены
- Displaced Diffusion - Сдвинутое логнормальное распределение
- Bachelier - Нормальная динамика, аддитивная волатильность