Стохастическая локальная волатильность (SLV)

SLV (Stochastic Local Vol) используют большинство боевых деск-команд. Модель совмещает локальную и стохастическую волатильность. По отдельности ни одна из них не годится для реальной торговли. Цель: поверхность волатильности, которая соответствует сегодняшнему рынку и реалистично меняется во времени.

💡

Локальная волатильность описывает сегодняшний рынок, стохастическая правильно движется, SLV делает и то и другое

Локальная волатильность точно воспроизводит сегодняшнюю улыбку, но ошибается в динамике (улыбка слишком сильно смещается вслед за спотом). Стохастическая волатильность правильно описывает динамику, но ошибается в форме улыбки (недостаточный скью). SLV смешивает обе модели.

Смешивание в действии

Перемещайте ползунок между чистой локальной и чистой стохастической волатильностью.

Демо смешивания SLV

Сбалансированная смесь. Именно так на практике работает большинство продакшн-десков. Лучшее из обоих подходов.

Коэффициент смешивания0.50

0 = чистая локальная вол.50% Local / 50% Stochastic1 = чистая стохастическая вол.

Зелёная кривая SLV — это смесь оранжевой улыбки локальной волатильности и синей улыбки стохастической волатильности. Большинство десков работает около 50/50.

Что вы видите на графике

• Оранжевая пунктирная линия (локальная волатильность): улыбка локальной волатильности Дюпира. Крутая, реалистичная форма -- она идеально совпадает с сегодняшним рынком. Но из неё следует, что улыбка почти не смещается при движении спота, а это неверно.
• Синяя пунктирная линия (стохастическая волатильность): улыбка в духе модели Хестона. Более гладкая, с меньшим скью. Она хорошо предсказывает движение улыбки, но сама по себе не может воспроизвести текущую форму рынка.
• Зелёная сплошная линия (смесь SLV): боевая модель. Взвешенная комбинация обеих. При соотношении 50/50 вы получаете улыбку, которая соответствует сегодняшнему рынку и реалистично движется.

Почему не использовать одну модель?

Модель

Описывает текущий рынок?

Верная динамика?

Готова к продакшену?

Локальная волатильность (Дюпир)

Идеально

Неверная

Редко сама по себе

Стохастическая волатильность (Хестон)

Приблизительно

Хорошая

Иногда

SLV (смесь)

Идеально

Хорошая

Да

Как работает смешивание

Берётся модель стохастической волатильности (например, модель Хестона), и её подразумеваемая волатильность умножается на функцию левериджа, полученную из локальной волатильности. Функция левериджа -- это поправочный множитель, при котором смесь в точности воспроизводит сегодняшний рынок.

• Коэффициент смешивания около 0 (преобладает локальная волатильность): основную работу выполняет функция левериджа. Улыбка совпадает с рынком идеально, но движется нереалистично.
• Коэффициент смешивания около 1 (преобладает стохастическая волатильность): функция левериджа почти плоская (близка к 1 повсюду). Улыбка может совпадать с рынком неидеально, зато динамика реалистична.
• Коэффициент смешивания около 0,5: золотая середина, к которой стремится большинство деск-команд. Хорошее соответствие рынку и хорошая динамика.

ℹ️

Калибровку выполняет функция левериджа

Функция левериджа $L(S, t)$ поглощает всё, что не может объяснить стохастическая компонента. Плоская функция левериджа означает, что всю работу выполняет стохастическая волатильность. Сильно меняющаяся -- что всю работу выполняет локальная волатильность. В продакшене нужно, чтобы она плавно менялась вблизи ATM -- это значит, что смесь сбалансирована.

Когда важен коэффициент смешивания?

Для ванильных европейских опционов он почти не важен: любая смесь, воспроизводящая сегодняшнюю улыбку, даёт одинаковые цены. Коэффициент смешивания важен для продуктов, зависящих от траектории, где динамика улыбки влияет на цену. Хеджи по дельте и веге для экзотических продуктов могут существенно различаться при разных коэффициентах смешивания.

Продукт

Чувствительность к смешиванию

Почему

Ванильный европейский

Нет

Цена зависит только от сегодняшней улыбки, которую воспроизводят все смеси

Барьерный опцион

Высокая

Вероятность касания барьера зависит от того, как улыбка движется вместе со спотом

Клике / аккумулятор

Очень высокая

Опционы с отложенным стартом -- это чистые ставки на динамику улыбки

Американский / бермудский

Умеренная

Решение о досрочном исполнении зависит от будущей формы улыбки

Сильные стороны и ограничения

Сильная сторона

Что это значит для вас

Точно описывает текущий рынок

Функция левериджа гарантирует идеальную калибровку ко всем наблюдаемым ценам опционов.

Реалистичная динамика

Стохастическая компонента обеспечивает движение улыбки, согласующееся с историческим поведением.

Настраиваемость

Коэффициент смешивания позволяет регулировать баланс между качеством подгонки и реалистичностью динамики.

Отраслевой стандарт

Именно эту модель используют Goldman, JPM и большинство деск-команд первого эшелона для оценки экзотики.

Ограничение

Что это значит для вас

Вычислительно затратна

Калибровка функции левериджа требует методов Монте-Карло или решателей PDE. Не в реальном времени.

Коэффициент смешивания задаётся вручную

Единственно верного коэффициента смешивания не существует -- его выбирают по качеству хеджирования или по атрибуции P&L экзотических позиций.

Функция левериджа может быть зашумлена

При скудных рыночных данных (как в крипте) функция левериджа бывает нестабильной на крыльях, особенно далеко от ATM.

Смешивание сложно хеджировать

Коэффициент смешивания нельзя напрямую наблюдать или торговать. Это модельное допущение.

💡

Необходима для экзотики, избыточна для ванилы

Для оценки и хеджирования барьерных опционов, клике, автоколлов SLV -- минимально пригодная модель. Для ванильных опционов используйте SVI или SABR. Поведение временной структуры определяется стохастической компонентой.

Обозреватель уравнений

Пересчёт между подразумеваемой волатильностью, полной дисперсией, логарифмической монейностью и ценами опционов.

Исследователь формул

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

Подразумеваемая вол. (σ)

%

Подразумеваемая волатильность

Время до экспирации

дн.

Календарные дни до экспирации

Полная дисперсия (w)

0.022225

Годовая дисперсия (σ²)

0.2704

IV (обратный пересчёт)

52.00%

Полная дисперсия — это то, что калибруют SVI и другие модели. Она растёт со временем: волатильность 50% на 30 дней даёт меньшую полную дисперсию, чем 50% на 90 дней.

---

Проверьте свое понимание перед тем, как продолжить.

Q: Почему одна лишь локальная волатильность не может дать реалистичную динамику улыбки?

Q: Какую роль играет функция левериджа в SLV?

Q: Важен ли коэффициент смешивания для ванильных европейских опционов?

💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.

Математическая интуиция

Изучить SLV с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знаний

В этом уроке объясняется, почему локальная и стохастическая волатильность по отдельности не справляются, а затем показано, как функция левериджа смешивает их в боевую модель, которую реально используют многие деск-команды по экзотике.

---

См. также:

• Модель SABR -- стохастическая волатильность с «хребтом» (backbone)
• Модель Хестона -- самая распространённая модель чистой стохастической волатильности
• Локальная волатильность -- детерминированный подход Дюпира
• Как строятся поверхности -- полный конвейер