Параметризация SVI

к сведению

На этой странице модель SVI разобрана подробно. О том, какое место она занимает в построении поверхности волатильности, читайте в разделе Как строятся поверхности. Сравнение с другими методами приведено в разделе Методы интерполяции.

SVI (Stochastic Volatility Inspired) является отраслевым стандартом для аппроксимации улыбки волатильности на рынках криптовалютных и фондовых опционов. Модель описывает форму улыбки для одной экспирации с помощью 5 параметров. Название связано с тем, что её функциональную форму можно вывести из упрощённой модели стохастической волатильности.

Исследуйте параметры

Меняйте параметры ниже и смотрите, как меняется улыбка. Пресеты позволяют быстро переключаться между типовыми конфигурациями.

Исследователь параметров SVI

Типичная улыбка для акций/крипты. Крыло путов приподнято.

a (уровень)0.040

Сдвигает всю улыбку вверх или вниз

b (наклон)0.250

Насколько круты крылья

ρ (скью)-0.40

Отрицательное = пут-скью, положительное = колл-скью

m (сдвиг)0.00

Где расположен минимум улыбки

σ (кривизна)0.200

Малое = острая V, большое = плавная U

IV ATM

104.6%

Наклон крыла путов

0.350

Наклон крыла коллов

0.150

За что отвечает каждый параметр

• a (уровень): сдвигает всю улыбку вверх или вниз. Чем больше $a$, тем выше IV в целом. По сути, это базовый уровень дисперсии.
• b (наклон): задаёт крутизну крыльев. Чем больше $b$, тем круче крылья и тем дороже опционы вне денег (OTM).
• $\rho$ (скью): наклоняет улыбку. Отрицательное $\rho$ даёт пут-скью (обычная ситуация). Положительное $\rho$ даёт колл-скью (встречается редко). Ноль соответствует симметричной улыбке.
• m (сдвиг): смещает минимум улыбки влево или вправо. Обычно близок к нулю (минимум на деньгах, ATM).
• $\sigma$ (кривизна): определяет, насколько скруглено дно улыбки. Малое $\sigma$ даёт острую V-образную форму, большое $\sigma$ даёт плавную U-образную.

Поведение крыльев

По мере удаления от ATM улыбка асимптотически приближается к прямым. Их наклоны:

• Пут-крыло (слева): наклон = $b(1 - \rho)$
• Колл-крыло (справа): наклон = $b(1 + \rho)$

При типичном пут-скью ($\rho < 0$) пут-крыло круче колл-крыла. Ограниченное линейное поведение крыльев является одним из ключевых преимуществ SVI: модель никогда не экстраполирует в абсурдные значения.

Калибровка по рыночным данным

Имея набор наблюдаемых значений IV на разных страйках (для одной экспирации), SVI подбирает 5 параметров, которые воспроизводят их наилучшим образом.

Порядок действий:

1. Собрать все наблюдения IV для нужной экспирации (обычно 5-15 точек).
2. Перевести каждое в полную дисперсию: квадрат наблюдаемой IV, умноженный на время до экспирации.
3. Запустить оптимизатор взвешенных наименьших квадратов и найти параметры, минимизирующие расхождение между кривой SVI и наблюдениями.
4. Взвесить точки по степени доверия: опционы ATM получают больший вес (они ликвиднее), узкие спреды бид/аск получают больший вес (котировки надёжнее), глубокие OTM получают меньший вес.
5. Соблюдать ограничения на отсутствие арбитража в процессе оптимизации (см. ниже).

Скорость: калибровка одной экспирации занимает менее 10 миллисекунд. Вся поверхность (все экспирации) пересчитывается в реальном времени по мере обновления котировок.

Ограничения на отсутствие арбитража

На SVI можно наложить ограничения, исключающие большую часть арбитража. Часть из них сводится к простым неравенствам на параметры, а отсутствие арбитража бабочкой дополнительно требует численной проверки.

Ограничение на наклон крыльев (необходимое условие отсутствия арбитража бабочкой):

Улыбка должна быть достаточно выпуклой, чтобы никакой спред-бабочка не давал бесплатной прибыли. В терминах полной дисперсии крылья не могут расти быстрее границы Роджера Ли (см. ниже):

$b(1 + |\rho|) \leq 2$

Это условие необходимое, но не достаточное. Улыбка может ему удовлетворять и всё равно давать отрицательную плотность вблизи денег, поэтому при калибровке дополнительно проверяют функцию плотности Гатерала $g(k) \geq 0$ на сетке значений логарифмической монейности.

Неотрицательная дисперсия в минимуме:

Минимум улыбки должен быть выше нуля:

$a + b\sigma\sqrt{1 - \rho^2} \geq 0$

Календарное ограничение (между экспирациями):

Полная дисперсия должна расти с увеличением срока на каждом страйке. Это обеспечивается проверкой $w_1(k) \leq w_2(k)$ для всех $k$ между соседними срезами по экспирациям.

Варианты

У SVI есть два важных варианта, каждому посвящена отдельная страница:

ORC Wing (Jump-Wing) перепараметризует SVI через понятные трейдеру величины: дисперсию ATM, скью ATM, наклон пут-крыла, наклон колл-крыла и минимальную дисперсию. Улыбка та же, меняются только рычаги управления. Удобно для ручной правки улыбки.

SSVI (Surface SVI) распространяет SVI на всю поверхность и по построению гарантирует отсутствие календарного арбитража. Вместо независимой калибровки каждой экспирации SSVI связывает их общим параметром скью и функцией крутизны улыбки. Степеней свободы меньше, зато не нужны поправки между экспирациями.

Конвертер величин

SVI работает с полной дисперсией и логарифмической монейностью. С помощью этого инструмента можно переводить значения между IV, полной дисперсией и страйками.

Исследователь формул

k = ln(K / F)лог-монейность = ln(страйк / форвард)

Страйк (K)

$

Цена страйка опциона

Форвард (F)

$

Форвардная цена (≈ спот для коротких сроков)

Лог-монейность (k)

-0.0513

Монейность (K/F)

0.9500

Тип

-5.0% OTM-пут

Лог-монейность — это ось x, которую используют SVI и большинство параметрических моделей. k = 0 — это ATM. Отрицательное k = сторона OTM-путов. Положительное k = сторона OTM-коллов.

Почему SVI?

• 5 параметров достаточно, чтобы описать практически любую наблюдаемую улыбку. Параметров меньше, чем у сплайнов, а гибкости больше, чем у 3-параметрических моделей.
• Ограниченные крылья исключают неконтролируемую экстраполяцию. В худшем случае SVI экстраполирует с конечным наклоном.
• Простые ограничения удерживают крылья и уровень дисперсии в разумных пределах, а арбитраж бабочкой дёшево проверяется численно на сетке.
• Быстрая калибровка позволяет обновлять поверхность в реальном времени вслед за рынком.
• Широкое распространение на деск-ах волатильности в крипте и на фондовом рынке. Hypercall берёт поверхность каждого базового актива из настроенного для него источника волатильности.

Математическая интуиция

Изучите SVI с нуляИнтерактивный урок · 5 разделов · без предварительных знаний

Интерактивный урок выше разбирает SVI с нуля: что именно параметризует SVI и зачем, каждый из 5 параметров по отдельности, переход от дисперсии к волатильности, ограничения на отсутствие арбитража и практическую калибровку по рыночным данным.

Реализации с открытым исходным кодом

Репозиторий	Чем полезен
SVI-Vol-Surface	Калибровка SVI на Python с визуализацией
QuantLib	Параметризация SVI на C++

---

Варианты SVI: ORC Wing (Jump-Wing) | SSVI (Surface SVI)

См. также: Как строятся поверхности | Методы интерполяции | Модель SABR | Скью