Variance Gamma
Variance Gamma (VG): диффузии нет вообще. Между скачками цена не движется плавно, потому что любое движение и есть скачок. Скачки происходят по случайным часам: в периоды высокой активности время идёт быстро, в спокойные периоды медленно. Именно случайные часы дают толстые хвосты, и для этого не нужно задавать «распределение размера скачков», как в модели Мертона. Получающаяся поверхность волатильности способна одновременно воспроизвести рыночный скью и эксцесс.
Всем управляют три параметра: волатильность (sigma), скью (theta) и эксцесс (nu).
Идея случайных часов
У рынка есть собственные внутренние часы, которые идут со случайной скоростью. В активные дни часы тикают быстро, и цена сильно движется. В спокойные дни стрелка почти стоит на месте. VG = Блэк-Шоулз на случайных часах. Толстые хвосты и естественная улыбка получаются сами собой, без каких-либо допущений о крахах или размерах скачков.
Исследуйте параметры
Сначала выберите «Тонкие хвосты», чтобы увидеть картину, близкую к Блэку-Шоулзу. Затем увеличьте nu (эксцесс) и посмотрите, как поднимаются крылья.
Исследователь улыбки Variance Gamma
Выберите «Тонкие хвосты», чтобы увидеть почти плоский Блэк-Шоулз, затем увеличьте ν и посмотрите, как крылья поднимаются из-за избыточного эксцесса.
За что отвечает каждый параметр
- Sigma (волатильность): базовая волатильность, когда часы идут с обычной скоростью. Это общий уровень, аналог волатильности ATM.
- Theta (скью): снос процесса. Отрицательная theta означает, что за заданный шаг времени рынок склонен падать сильнее, чем расти. Так возникает пут-скью: левое крыло круче правого.
- Nu (эксцесс): определяет, насколько «случайны» часы. Низкое nu: часы идут равномерно (тонкие хвосты, картина близка к Блэку-Шоулзу). Высокое nu: часы идут крайне неравномерно (толстые хвосты, крутые крылья). Опционы OTM заметно дорожают.
Почему чисто скачкообразный процесс?
Блэк-Шоулз и даже Мертон предполагают непрерывную диффузионную компоненту: большую часть времени цена движется плавно, лишь изредка совершая скачки. VG исходит из того, что, возможно, всё движение цены разрывно. На уровне тиков цена перескакивает с одного уровня на другой, и плавной траектории между сделками нет. Дельта-хеджирование по построению неидеально: непрерывно реплицировать выплату невозможно.
Это хорошо описывает реальное поведение криптовалютных рынков, особенно низколиквидных пар, где книга заявок тонкая и цена перескакивает с уровня на уровень с гэпами.
Три параметра, три момента
Изящество VG в том, что каждый параметр напрямую соответствует статистическому свойству доходностей. Sigma отвечает за дисперсию (второй момент), theta за асимметрию (третий момент), nu за избыточный эксцесс (четвёртый момент). Никакой избыточности и никакой головной боли с корреляцией параметров.
VG и другие модели
VG на практике
На традиционных деск-ах VG встречается реже, чем Heston или SABR, но у неё есть своя ниша в крипте и кредитных деривативах:
Один параметр на каждый момент
Каждый параметр VG управляет ровно одним статистическим свойством доходностей. Среди моделей улыбки это самое чистое разделение скью и толщины хвостов. Вега-экспозиция в модели VG отличается от Блэка-Шоулза, поскольку улыбка подразумеваемой волатильности не плоская. Если Блэка-Шоулза мало, а сложность Heston или SLV не нужна, VG подходит.
Обозреватель уравнений
Пересчитывайте подразумеваемую волатильность, полную дисперсию, лог-монейность и цены опционов друг в друга.
Исследователь формул
💡 Совет: Попробуйте ответить на каждый вопрос самостоятельно, прежде чем открывать ответ.
Математическая интуиция
Изучить Variance Gamma с нуляИнтерактивный урок · без предварительных знанийЭтот урок объясняет Variance Gamma через мысленную модель случайных часов, а затем показывает, как theta, sigma и nu управляют скью, размером обычных движений и толщиной хвостов.
См. также:
- Блэк-Шоулз: базовая модель только с диффузией
- Модель Мертона со скачками: диффузия плюс скачки
- Модель Хестона: стохастическая волатильность (на основе диффузии)
- Методы интерполяции: сравнение всех моделей